21 第1部分 专题5 强基专题8 圆锥曲线中的四点共圆问题-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

　圆锥曲线中的四点共圆问题 圆锥曲线中的四点共圆问题或隐含四点共圆问题，在高考或平时模拟考中屡见不鲜，2021年新高考Ⅰ卷第21题就是隐含四点共圆问题．这类试题将圆锥曲线与四点共圆两者有机地结合在一起，重点考查运算求解能力和推理论证能力，由于问题综合性强，运算量大，大多考生望而生畏，甚至谈“圆”色变. 1．圆幂定理 如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A，B与C，D，则PA·PB＝PC·PD.那么证明四点共圆问题时，我们可以先用四个点构建一个四边形并用代数式表示出两条对角线的方程之后和圆锥曲线联立，求得PA·PB和PC·PD的值，证明它们相等进而得证四点共圆． 2．圆锥曲线四点共圆定理 若两条直线li：y－y0＝ki(x－x0)(i＝1，2)与二次曲线Γ：ax2＋by2＋cx＋dy＋e＝0(a≠b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1＋k2＝0. 可推导四点共圆的充要条件为：圆锥曲线上四个不同的点组成的四边形对角线倾斜角互补． 【例】　(2023·河南郑州月考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴交于点P与抛物线交于点Q，且|QF|＝|PQ|. (1)求抛物线E的方程； (2)过F的直线l与抛物线E相交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与E相交于C，D两点，探究是否存在直线l使A，B，C，D四点共圆？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 结论1：若|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，则A，B，P，Q四点共圆，反之亦然． 结论2：若圆锥曲线上四点A，B，C，D共圆，则kAB＋kCD＝0，kAD＋kBC＝0，kAC＋kBD＝0(假设以上各条直线的斜率都存在)，反之亦然． [跟进训练] (2023·四川泸州模拟)设动点P与定点F (，0)的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是. (1)求动点P的轨迹方程； (2)设动点P的轨迹为曲线C，不过原点O且斜率为的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM与曲线C交于C，D两点，证明：A，B，C，D四点共圆． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强基专题8　圆锥曲线中的四点共圆问题 例　解：(1)设点Q(x0，4)(x0>0)，由题意得，解得p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 由，得y2－4ty－4＝0， 显然Δ>0， 所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， |AB|＝|y1－y2|＝·＝4(t2＋1)． 因为AB的中点M(2t2＋1，2t)， 所以线段AB的垂直平分线为y－2t＝－t(x－2t2－1)， 将抛物线方程x＝y2代入，得ty2＋4y－8t3－12t＝0， 所以y3＋y4＝－，y3y4＝－8t2－12， 所以|CD|＝·|y3－y4|＝·＝·， 所以CD的中点N. 因为A，B，C，D四点共圆， 所以N为圆心，|AM|2＋|MN|2＝|AN|2， 即4(1＋t2)2＋＝·(2t2＋1)，解得t＝±1， 故直线l的方程为x＝±y＋1. 跟进训练 解：(1)设P(x，y)， 因为动点P与定点F (，0)的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是， 所以＝， 整理化简得＋y2＝1. 所以动点P的轨迹