16 第1部分 专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

　圆锥曲线的定义、方程及性质 【高考定位】　1．圆锥曲线的标准方程，常以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系求得相应曲线的标准方程．2．圆锥曲线的几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题中第一问的形式命题．3．直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的热点，主要考查直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用． 基础考点1　圆锥曲线的定义、标准方程 1．(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A． B．3 C． D．2 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＋y2＝1 3．(2023·天津卷)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 4．(2020·新高考Ⅰ卷改编)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是________．(填序号) ①若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上； ②若m＝n>0，则C是圆，其半径为； ③若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x； ④若m＝0，n>0，则C是两条直线． 5．(北京卷)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　) A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” (1)定型：就是确定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)． (3)凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理． 1．[双曲线的标准方程]若方程4x2＋ky2＝4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于(　　) A．2 B．2 C． D． 2．[抛物线中应用定义转化]设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M(4，0)的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝(　　) A． B． C． D． 3．[椭圆的标准方程]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＋y2＝1 4．[圆锥曲线的光学性质]圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如图1)；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出(如图2)．封闭曲线E(如图3)是由椭圆C1： ＋ ＝ 1和双曲线C2： － ＝1在y轴右侧的一部分(实线)围成．光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为________． 图1　　　　　图2　　　　　图3 基础考点2　圆锥曲线的几何性质 1．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 2．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的