第1部分 专题限时集训11-13 圆锥曲线相关问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习练习（老教材）

专题限时集训(十一)　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．(2022·浙江卷)如图，已知椭圆＋y2＝1．设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． 2．(2023·四川校联考模拟预测)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点M是以AB为直径的圆上除去A，B的任意一点，直线AM交椭圆C于另一点N．当点N为椭圆C的短轴端点时，原点O到直线NF2的距离为1． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(十一) 1．解：(1)设椭圆上任意一点M(x，y)，则|PM|2＝x2＋(y－1)2＝12－12y2＋y2－2y＋1＝－11y2－2y＋13，y∈[－1，1]， 而函数z＝－11y2－2y＋13图象的对称轴为y＝－∈[－1，1]，则其最大值为－11×＋2×＋13＝ ∴|PM|max＝P． (2)设直线AB方程为y＝kx＋A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1y，整理得(1＋12k2)x2＋12kx－9＝0，Δ＝144k2＋36(1＋12k2)＝36(1＋16k2)>0， ∴x1＋x2＝－x1x2＝－ 直线PA的方程为y＝x＋1， xC＝ 同理xD＝∴|CD|＝· ＝＝ ＝·3k＋1＝m(m≠0)， ∴|CD|＝·＝·≥·． ∴当m＝k＝ |CD|． 2．解：(1N为椭圆C的短轴端点时， 不妨设N(0，b)，故直线NF2＝1， 故原点O到直线NF2＝1， 又a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝2， 故椭圆C＝1． (2)点M是以AB为直径的圆上除去A，B的任意一点， 故直线AM与直线BM的斜率均存在， 设直线AM的方程为y＝k(x＋2)，由 则M， 1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，Δ>0， 设N(x1，y1)，则－2＋x1＝ 故x1＝， 即N， 所以－20， 当且仅当2k2＝， 即k2＝时等号成立． 所以的最小值为16－20． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(十二)　圆锥曲线中的定点、定值问题 1．(2023·四川成都三模)已知斜率为的直线l与抛物线C：y2＝4x相交于P，Q两点． (1)求线段PQ中点纵坐标的值； (2)已知点T，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点(异于P，Q)．求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标． 2．在平面直角坐标系xOy中，P是圆E：x2＋y2＋2x－15＝0上的动点，已知F(1，0)，且线段PF的垂直平分线交PE于Q，设Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)设直线l与C交于A，B两点，若M，且△ABM内切圆的圆心在直线FM上，则直线l具备以下哪个性质？证明你的结论． ①l恒过定点，②l的斜率恒为定值，③O到l的距离恒为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(十二) 1．解：(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中x1≠x2， ＝4x1－4x2， ∴ ∴线段PQ． (2)证明：设P，N， ∴kPM＝， ∴直线PM的方程为y－y1＝，， 化简可得(y1＋y3)y－4x－y1y3＝0， ∵T0)在直线PM上，解得y1y3＝－4 同理，可得y2y4＝－4 ∴kPQ＝＝ ∴y3y4＝－3(y3＋y4)， 又直线MN的方程为(y3＋y4)y－4x－y3y4＝0， 即(y3＋y4)(y＋3)－4x＝0， ∴直线MN恒过定点(0，－3)． 2．解：(1)圆E的方程化为(x＋1)2＋y2＝16，所以圆心E(－1，0)，半径r＝4． 因为Q在PF的垂直平分线上，所以|QF|＝|QP|， 所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|EP|＝4． 又因为|EF|＝2，则|QE|＋|QF|>2， 所以Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆， 由2a＝4，c＝1，得b＝． 所以C＝1． (2)直线l满足性质②，证明如下： 若直线l的斜率不存在，则AB∥FM， 此时△ABM的内切圆圆心不在FM上，不符合题意． 设l的方程为y＝kx＋m． y＝1， 整理得(4k2＋3)x2 ＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ>0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1≠1，x2≠1，且x1＋x2＝－ x1·x2＝． 因为△ABM的内切圆圆心在直线FM上， 所以FM平分∠AMB，即直线MA，MB关于直线FM对称． 又因为FM⊥x轴，且直线MA，MB的斜率均存在， 所以直线MA，MB的斜率之和为0， ＝0． ＝0， 又由y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m， 整理得 ＝0， 所以2k·＋3－2m＝0，整理得4k