第1部分 专题限时集训6 空间向量与立体几何-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习练习（老教材）

专题限时集训(六)　空间向量与立体几何 1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A． B． D． 2．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝，则该二面角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2．以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M．则CD与平面ACM所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 4．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上一点，且A1M＝λ(0<λ<2)．设N为线段ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　) A．λ B． C．λ D． 5．如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝，则二面角A-BC-P的大小为　　　　． 6．如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1A上的动点，N是棱BC的中点．当平面D1MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时，A1M＝　　　　． 7．(2023·四川绵阳中学模拟预测)在三棱锥P-ABC中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB，PC＝4且直线PC与平面ABC所成的角为30°，O为AB的中点． (1)求证：平面POC⊥平面ABC； (2)求二面角A-PB-C的正弦值． 8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥矩形ABCD，其中AD＝2，AB＝1，PA＝，E为矩形ABCD的边BC上一动点． (1)F为线段PD上一点，|PD|＝3|DF|，是否存在点E，使得EF∥平面PAB，若存在，求出CE的长，若不存在，请说明理由； (2)若DE⊥PE，求直线PC与平面PED所成角的余弦值． 9．如图，在四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝．沿BA将△PAB翻折到△SBA的位置，使得SD＝． (1)作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB； (2)点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q-BD-C的余弦值为时，求此时三棱锥Q-BCD的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(六) 1．C　[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，＝(－1，0，＝(1，1，)． 则cos〈〉＝， 即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．] 2．C　[由已知可得·＝0，·＝0，如图，++， ∴||2＝(++)2＝||2+||2+||2+2·+2·+2· ＝32+22+42+2×3×4cos〈〉＝()2， ∴cos〈〉＝－， 即〈〉＝120°， ∴所求二面角的大小为60°，故选C．] 3．D　[如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2)． 所以＝(2，4，0)，＝(0，2，2)，＝(－2，0，0)． 设平面ACM的法向量n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥， 可得令z＝1，得n＝(2，－1，1)． 设CD与平面ACM所成的角为α， 则sin α＝|cos〈，n〉|＝．] 4．D　[以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)， ＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1)． 设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得z＝2，则n＝(1，0，2)为平面D1EF的一个法向量． 则点M到平面D1EF的距离d＝． 因为N为线段EM的中点，所以点N到平面D1EF的距离为，故选D．] 5．　[法一：(坐标法)以A为坐标原点，AP所在直线为z轴，AC所在直线为y轴，过A且垂直于AC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由AB＝2，PA＝BC＝，可知AC＝＝1． ∴P(0，0，)，B(，1，0)，C(0，1，0)，＝(，1，－＝(0，1，－)． 设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则 取z＝1得n＝(0，，1)． 平面ABC的一个法向量m＝(0，0，1)， 设二面角A-BC-P的平面角为θ， 则cos θ＝， ∴θ＝． 法二：(几何法)由题意可知AC⊥BC，又PA⊥平面ABC