第1部分 高考热点强化3 立体几何-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习练习（老教材）

高考热点强化(三)　立体几何 1．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α，β垂直于同一个平面 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一条直线 2．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC，BD的关系是 (　　) A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 3．(2023·四川德阳模拟预测)一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为(　　) A． B．1 C． D． 4．榫卯是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用．如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积分别为(　　) A．8+16π，2+8π B．9+16π，2+8π C．8+16π，4+8π D．9+16π，4+8π 5．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A． B． C． D． 6．(2023·天津卷)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为 (　　) A． B． C． D． 7．如图为四棱锥A-DEFG的侧面展开图(点G1，G2重合为点G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F，E是线段DF的中点，请写出四棱锥A-DEFG中一对一定相互垂直的异面直线：　　　　．(填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形) 8．如图所示，六氟化硫(SF6)的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子(F)恰好在正八面体的顶点上，而硫原子(S)恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为　　　　． 9．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为BD1，BB1上的动点，则△C1PQ周长的最小值为　　　　． 10．(2023· 四川遂宁模拟预测)已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有顶点都在球O上，若球O的体积为，则该正三棱柱体积的最大值为　　　　． 11．(2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB， AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝． (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB 所成角的正弦值． 12．如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝，PD＝CD＝2AD＝2AB＝2． (1)求证：平面BDP⊥平面PBC； (2)求二面角B-PC-D的余弦值； (3)在棱PA上是否存在点Q，使得DQ∥平面PBC？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考热点强化(三) 1．D　[对于A：α内有无数条直线与β平行推不出α∥β，只有α内所有直线与β平行才能得出α∥β，故A错误； 对于B：α，β垂直于同一个平面，得到α∥β或α与β相交，故B错误； 对于C：α，β平行于同一条直线，得到α∥β或α与β相交，故C错误； 对于D：因为垂直于同一条直线的两平面平行，故α，β垂直于同一条直线可推出α∥β，故D正确．故选D．] 2．C　[取BD中点E，连接AE，CE． ∵AB＝AD＝BC＝CD， ∴AE⊥BD，CE⊥BD．又AE∩CE＝E， ∴BD⊥平面AEC． 又AC⊂平面AEC， ∴BD⊥AC．故选C．] 3．B　[如图，延长正三棱台的三条棱AA'，BB'，CC'，交于点P，因为AB＝BC＝AC＝6，A'B'＝B'C'＝A'C'＝3，则PA＝PB＝PC＝2AA'＝4，作PO⊥底面ABC于O，连接BO，则BO＝2，故PO＝＝2，故正三棱台的高为＝1．故选B．] 4．A　[由三视图知该榫是由上下两部分构成：上方为长方体(底面为边长是1的正方形，高为2)，下方为圆柱(底面圆半径为2，高为2)． 其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积， 所以S＝2×+2×+4×＝8+16π． 其体积为圆柱与长方体体积之和，所以V＝×2+1×1×2＝8π+2．故选A．] 5．D　[法一：(几何法)如图，连接C1P，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，所以C1P⊥平面B1BP．又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP．连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin∠PBC1＝，所以∠PBC1＝，故选D． 法二：(坐标法)以B1为坐标原点，B1C1，B1A1