第1部分 专题限时集训21 不等式选讲-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习练习（老教材）

专题限时集训(二十一)　不等式选讲 1．(2023全国乙卷)已知f (x)＝2|x|＋|x－2|． (1)求不等式f (x)≤6－x的解集； (2)在直角坐标系xOy中，求不等式组所确定的平面区域的面积． 2．已知函数f (x)＝|ax＋1|＋|x－1|． (1)若a＝2，解关于x的不等式f (x)<9； (2)若当x>0时，f (x)>1恒成立，求实数a的取值范围． 3．已知a，b，c∈R＋，∀x∈R，不等式|x－1|－|x－2|≤a＋b＋c恒成立． (1)求证：a2＋b2＋c2≥； (2)求证：． 4．已知函数f (x)＝|x－1|－2|x＋1|． (1)解不等式f (x)≥x； (2)设f (x)的最大值为m，若2ab＋2bc＋2ca＝m，a，b，c∈R＋，求a＋b＋c的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(二十一)　不等式选讲 1．[解]　(1)f (x)＝ 当x<0时，－3x＋2≤6－x，得－2≤x<0； 当0≤x≤2时，x＋2≤6－x，得0≤x≤2； 当x>2时，3x－2≤6－x，得x≤2，与x>2矛盾． 综上，不等式f (x)≤6－x的解集为{x|－2≤x≤2}． (2)如图所示，作出不等式组 即所确定的平面区域(图中阴影部分)，为△ABC， 其中A(－2，8)，B(0，2)，C(2，4)，直线y＝－x＋6与y轴交于点(0，6)，所以S△ABC＝×(6－2)×[2－(－2)]＝8． 2．[解]　(1)当a＝2时，f (x)＝|2x＋1|＋|x－1|＝ 当x＞1时，由f (x)＜9得3x＜9，解得1＜x＜3； 当－≤x≤1时，由f (x)＜9，得x＋2＜9，解得≤x≤1； 当x＜－时，由f (x)＜9得－3x＜9，解得－3＜x＜－， 由此可知，f (x)<9的解集为{x|－3<x<3}． (2)当a>0时，f (x)＝|ax＋1|＋|x－1| ＝ f (x)的最小值为f 和f (1)中的最小值，其中>1，f (1)＝a＋1>1． 所以f (x)>1恒成立． 当a＝0时，f (x)＝|x－1|＋1≥1，且f (1)＝1，f (x)>1不恒成立，不符合题意． 当a<0时，f (1)＝， 若－2≤a<0，则f (1)≤1， 故f (x)>1不恒成立，不符合题意； 若a<－2，则f <1， 故f (x)>1不恒成立，不符合题意． 综上，a的取值范围为(0，＋∞)． 3．[证明]　(1)∵|x－1|－|x－2|≤|x－1－x＋2|＝1，∴a＋b＋c≥1． ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， ∴2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac， ∴3a2＋3b2＋3c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ＝(a＋b＋c)2≥1， ∴a2＋b2＋c2≥． (2)∵a2＋b2≥2ab，2(a2＋b2)≥a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， 即a2＋b2≥， 两边开平方得 ＝(a＋b)． 同理可得(b＋c)，(c＋a)． 三式相加，得 ≥(a＋b＋c)≥． 4．[解]　(1)由题意， 函数f (x)＝ 因为f (x)≥x， 可得 或或 解得－6≤x≤－， 所以不等式的解集为． (2)由(1)知， 当x＝－1时，f (x)max＝2， 所以m＝2，由题知a>0，b>0，c>0， 所以2＝2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2＝2a2＋2b2＋2c2， 所以≥3，即a＋b＋c≥， 当且仅当a2＝b2＝c2＝时取等号， 即a＋b＋c的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$