第1部分 专题限时集训20 坐标系与参数方程-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习练习（老教材）

专题限时集训(二十)　坐标系与参数方程 1．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－4cosθ＝0． (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l经过曲线C的焦点F且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|FQ|的值． 2．在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为 (t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝． (1)求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标． 3．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α 为参数)，曲线C1在变换T： 的作用下变成曲线C2． (1)求曲线C2的普通方程； (2)若m>1，求曲线C2与曲线C3：y＝m|x|－m的公共点的个数． 4．(2023四川南充模拟预测)“太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．在平面直角坐标系xOy中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为4的圆，其中黑、白区域分界线C1，C2为两个圆心在y轴上的半圆，P(－2，2)在太极图内，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求点P的一个极坐标和分界线C1的极坐标方程； (2)过原点的直线l与分界线C1，C2分别交于M，N两点，求△PMN面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(二十) 1．[解]　(1)∵直线l的参数方程为 (t为参数)，∴直线l的普通方程为y＝tan αx＋1， 由ρsin2θ－4cosθ＝0，得ρ2sin2θ－4ρcosθ＝0，即y2－4x＝0， ∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x． (2)∵直线l经过曲线C的焦点F(1，0)， ∴tan α＝－1，直线l的倾斜角α＝． ∴直线l的参数方程为 (t为参数)， 代入y2＝4x，得t2＋4t－8＝0, 设A，B两点对应的参数为t1，t2． 可得t1＋t2＝－4． ∵Q为线段AB的中点， ∴点Q对应的参数值为． 又点F(1，0)，则|FQ|＝＝． 2．[解]　(1)由 (t为参数)，得x≠1． 消去参数t，得l的普通方程为x－2y＋1＝0(x≠1)． 将ρ2＝去分母得3ρ2＋ρ2sin2θ＝12， 将y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2代入，得＝1， 所以曲线C的直角坐标方程为＝1． (2)由(1)可设曲线C的参数方程为 (α为参数)， 则曲线C上的点到l的距离 d＝ 当cos ＝1，即α＝－＋2kπ，k∈Z时， dmax＝ 此时 (k∈Z)． 所以曲线C上的点到直线l距离的最大值为该点坐标为． 3．[解]　(1)因为曲线C1的参数方程为 所以曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1, 将变换T： 即 代入x2＋y2＝1，得＋y′2＝1, 所以曲线C2的普通方程为＋y2＝1． (2)因为m>1，所以C3上的点A在椭圆＋y2＝1外，当x>0时，曲线C3的方程化为y＝mx－m，代入＋y2＝1， 得(4m2＋1)x2－8m2x＋4(m2－1)＝0，(*) 因为Δ＝64m4－4(4m2＋1)4(m2－1)＝16(3m2＋1)>0，所以方程(*)有两个不相等的实根x1，x2， 又x1＋x2＝>0，x1x2＝>0， 所以x1>0，x2>0， 所以当x>0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点， 又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称， 所以当x<0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，综上，曲线C2与曲线C3：y＝m|x|－m的公共点的个数为4． 4．[解]　(1)设点P的一个极坐标为P(ρP，θP)，ρP>0，θP∈[0，2π)， 则ρP＝tan θP＝＝－1， ∵点P在第二象限，∴θP＝ ∴点P的一个极坐标为P． ∵“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为4的圆， ∴分界线C1的圆心直角坐标为C1(0，2)，半径为r＝2， ∴C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4(x≥0)， 即x2＋y2－4y＝0(x≥0)， 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入上式，得ρ2－4ρsin θ＝0，θ∈ ， ， ∴当2θM－即θM＝时，(S△POM)max＝2＋2． ∵直线l过原点分别与C1，C2交于点M，N， ∴由图形的对称性易知，|OM|＝|ON|， ∴S△PMN＝2S△POM， ∴(S△PMN)max＝2(S△POM)max＝4＋4． 学科网（北京）股份有限公司 $$