第1部分 专题限时集训17-19 导数的应用-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习练习（老教材）

专题限时集训(十七)　利用导数证明不等式 1．已知f (x)＝(x＋3)ln (x＋1)－3x(0<x<3)． (1)证明：f (x)<0； (2)证明：＋…＋>ln (n＋1)(n∈N*)． 2．(2023湖南岳阳三模)已知函数f (x)＝aex－x－a. (1)若f (x)≥0，求a的值； (2)当a≥1时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明． ①f (x)>x ln x－sin x； ②f (x)>x(ln x－1)－cos x. 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 专题限时集训（十七） 1.[证明（①）要证f0,即证lnc+1)一桑<0， 令g=n+1)-释0<3， 则g=本中南=x+0, x-3 故g()在(0,3)上单调递减，g(x)g(0)=0, 故f(x)0 2)由()可知：当03时，释>血c+1, 令=m∈.剥瑞n(合+). 化为>n尝， 故星+号十…十品>n子+ln是+…+ln =h(经2尝)=n(m+1), 所以原不等式得证 2.[解](1)由f(x)=ae-x-a,得f(0)=0, 又f'x)=ae*-1, 当a≤0时，有f'x)0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减， 又由f(0)=0,则fx)≥0不恒成立. 当a>0时，令f"()=0,得x=ln告， 则当ln时，有f'(x)>0,当x<n时，有f'(x)0 即fw)在(-o,ln)上单调递减，在(ln时，+oo)上单调递增， 所以f(n时)是f)的极小值， 又因为f)≥0，且f(0)=0,故ln=0,即a=1,经验证成立，所以a=1. (2)证明：选择①作答： 当a≥l,>0时，f(x)=aer-x-a=a(er-l)-x≥er-1-x 设g(x)=ex-x-xlnx十sinx-1, 当0<x≤1时，-xlnx≥0，sin>0, ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 又由(1)知c-1-x>0,故g(x)>0, 当xl时，g'(x)=e-2-lnx+cosx, 设)=e-2-lhx+cosx,则h(x)=e-是-sinx,Hx)Pe-1-1>0, 则h(x)在(1，+∞)上单调递增，(x)>h(1)=e一2十cos1>0, 所以g'x)>0,则gx)在(1，+∞)上单调递增， gx)Pg(1)=e-2+sin1>0. 综上，gx)>0,即当a≥1时，f(x)x In x一sinx. 选择②作答： 当a≥l,xe0时，fx)=aer-x-a=a(er-l)-x≥e-1-x 设g(x)=er-xlnx十cosx-l, 当0x≤1时，-xnx≥0，cosx0,ex-1>0, 故gx)0, 当x>l时，g'(x)=er-1一lnx一sinx, h(x)=e*-1-In x-sin x, 则h(w)=er一是一cosx, h'(x)>e-1-1>0, 则hx)在(1，+∞)上单调递增，h(x)>h1)=e一1一sin1>0, 所以g(x)P0, 则g(x)在(1，+∞)上单调递增，g(x)>g(1)=e一1+cos1>0. 综上，gw)>0,即当a≥1时，f(Px血x一1)一cosx ·独家授权侵权必究· 专题限时集训(十八)　利用导数解决不等式恒成立、能成立问题 1．已知f (x)＝(x＞0)，若当x＞0时，f (x)＞恒成立，求正整数k的最大值． 2．(2023山东临沂二模)已知函数f (x)＝x－sin x． (1)若存在x∈ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(十八) 1．[解]　法一：(分离常数) 当x＞0时，f (x)＞恒成立，即＞k对任意x∈(0，＋∞)恒成立，令h(x)＝(x＞0)，求导，得h′(x)＝． 记g(x)＝x－1－ln (1＋x)(x＞0)，则g′(x)＝＞0，所以g(x)单调递增． 又因为g(2)＝1－ln 3＜0，g(3)＝2－2ln 2＞0，所以g(x)在(2，3)内有唯一的零点x0，且ln (1＋x0)＝x0－1． 当x＞x0时，g(x)＞0，h′(x)＞0，所以h(x)单调递增；当0＜x＜x0时，g(x)＜0，h′(x)＜0，所以h(x)单调递减，所以h(x)的最小值为h(x0)＝＝x0＋1∈(3，4)． 从而k的最大值为3． 法二：(必要性探路) 因为x＞0时，f (x)＞恒成立，故f (1)＞，所以k＜2(1＋ln 2)，所以正整数k的最大值不会超过3． 下证当k＝3时，f (x)＞(x＞0)恒成立． 即证当x＞0时，(x＋1)ln (x＋1)＋1－2x＞0恒成立． 令φ(x)＝(x＋1)ln (x＋1)＋1－2x，则φ′(x)＝l