27 第1部分 专题6 第5讲 利用导数解决不等式恒成立、能成立问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习讲义（老教材）

　利用导数解决不等式恒成立、能成立问题 【高考扫描】　 以基本初等函数为载体，以不等式恒成立(能成立)为依托，重在考查学生的最值转化能力，考查逻辑推理及数学运算的素养． 能力考点1　单变量不等式恒成立、能成立问题 (2023全国甲卷)已知函数f (x)＝ax－，x∈． (1)当a＝1时，讨论f (x)的单调性； (2)若f (x)＋sinx<0，求a的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 (1)求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题； (2)分离参数法，将参数分离出来，进而转化为f (x)min的形式，通过导数的应用求出f (x)的最值，即得参数的范围． 提醒：不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． [恒成立与能成立的综合问题]已知函数f (x)＝ex－a sin x－2x＋b(e≈2.718 28，a，b∈R)． (1)当a＝1时，存在x0∈(－∞，0]，使得f (x0)<0成立，求实数b的取值范围； (2)证明：当－1≤a≤1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有f (x)＋1－b>ex－x(ln x＋2)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 能力考点2　双变量不等式恒成立、能成立问题 (2015全国Ⅱ卷)设函数f (x)＝emx＋x2－mx． (1)证明：f (x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增； (2)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f (x1)－f (x2)|≤e－1，求m的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 常见的双变量不等式恒(能)成立问题的类型 (1)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]， 使得f (x1)≤g(x2)⇔f (x1)max≤g(x2)max． (2)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]， 使得f (x1)≥g(x2)⇔f (x1)min≥g(x2)min． (3)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]， 使得f (x1)≤g(x2)⇔f (x1)min≤g(x2)min． (4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]， 使得f (x1)≥g(x2)⇔f (x1)max≥g(x2)max． (5)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]， 使得f (x1)≤g(x2)⇔f (x1)max≤g(x2)min． (6)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]， 使得f (x1)≥g(x2)⇔f (x1)min≥g(x2)max． [与量词有关的不等式恒成立问题]已知函数f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex． (1)当x∈[1，e]时，求f (x)的最小值； (2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．