26 第1部分 专题6 第4讲 利用导数证明不等式-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习讲义（老教材）

享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第4讲 利用导数证明不等式 【高考扫描】 常以e,lnx,sinx等基本初等函数或与之相关的复合函数为载体，将函数、方 程、不等式巧妙地融合在一起，重在考查学生的转化化归、逻辑推理的能力，多 以解答压轴题的形式出现，难度较大。 能力考点1单变量不等式的证明 高考串讲·找规律★ ★把提共性之“新” (2023天津卷节选)已知函数fx)=（是+专)n(x+1). (1)求曲线y=f()在x=2处切线的斜率： (2)当x>0时，证明：fx)>1. [听课记录] 通性通法 单变量不等式的证明方法 (1)移项法：证明不等式fx)>gxm)<g》的问题转化为证明f(x)一gx)>0U (x)一g()<0),进而构造辅助函数(x)=fx)一g(x): (2)最值法：欲证fGx)<g(x),有时可以证明fxm<g(cim: (3)放缩法：在证明相关不等式时，若能灵活运用e≥x十1，lnx≤x一1这两个不 等式和不等式e≥ex,lnx≤是x,nx≥1一是进行放缩，往往事半功倍，一般地， ·独家授权侵权必究· 学科网书城 围 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 有c)≥f)十1，ngx)≤gx)-1,扩大了应用范围. 考题变迁·提素养★ ★打通应考之“脉 1,[与c,lnx有关的不等式证明问题]已知函数f(x)=1一lnx,x∈(0,1)，求证： 图+x2是<1 一题多解) 2.[与数列有关的不等式证明问题]已知函数f(x)=anx+x2,其中a∈R且a ≠0. (1)当a=1时，证明：f(x)≤x2+x-1; (2)求证：对任意的 n∈N且n≥2， 都有： (1+)(1+寺)(1+章)…(1+京)©（其中e≈2.718为自然对数的底数）. ·独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com□ 您身边的互联网+教辅专家 3.[与sinx,cosx有关的不等式证明问题]已知f(x)=cosx+十mx2-1(x≥0). (1)若fx)≥0在0，十∞)上恒成立，求实数m的取值范围： (2)证明：当x≥0时，ex-2≥sinx-cosx. 能力考点2双变量不等式的证明 高考串讲·找规律★ ★把握共性之“新” (2023新高考I卷)已知函数f(x)=a(er十a)-x. (I)讨论f(x)的单调性： (2)证明：当a>0时，f6w)>2na+号 [听课记录] 独家授权侵权必究◆ 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 通性通法。 证明双变量不等式的4种常见方法 (1)消元法：即借助题设条件，建立：与2的等量关系，如2=g(),从而将f, x2)>A的双变量不等式化成h()>A的单变量不等式 (2)换元法：结合题设条件，有时需要先对含有双变量的不等式进行“除法”变形， 再对含有双变量的局部代数式进行“换元”处理，将双变量问题等价转化为单变 量问题，即构建形如点形式。 (③)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数：把不等 式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数 (4)主元法：对于两个独立的双变量，可以利用主元思想，依次处理两个变量.如 本题中先将x看作主元，消去x,得到关于a的不等式，再进行证明. 考题变迁·提素养★-一 ★打通应考之“脉” l.[与零点有关的双变量问题]己知函数f(x)=ac一nx(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若函数f)有两个零点，2，证明：成+品>2 2.[与极值点有关的双变量问题]已知f(x)=xx-x2一x,m∈R若fx)有两 个极值点1，x2,且1<x2,求证：2>e(e为自然对数的底数). 一题多解) ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究·享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第4讲 利用导数证明不等式 能力考点1单变量不等式的证明 高考串讲找规律 解：)由题意，得f(x)=-ln(x+1)+(是+)×克， 所以f《2)=青-， 故曲线y=f)在x=2处切线的斜率房-学 (2)证明：要证x>0时，f(x)>1, 即证当x0时，（京+是)nl+x少1， 即证当0时，lh1十)每 构造g0=n1-兴(e1。 所以函数g()在(1，十o)上单调递增， 所以g)g(1)=0, 所以nr(cD 令x十1=>0)，则n(+1)>(e0), 所以当0时，（是+)nx+1)>L,即fx)>1, 考题变迁提素