22 第1部分 专题6 第1讲 函数的图象与性质-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习讲义（老教材）

　函数的图象与性质 【高考扫描】　 1．对函数表示的考查常以分段函数为载体，以客观题的形式出现，主要考查求值、求参数及解不等式等问题． 2．对函数图象的考查通常涉及函数的奇偶性、单调性、对称性等知识． 3．函数的性质及应用是高考的核心考点之一，每年都有涉及，多与导数、不等式、创新问题相结合且难度逐年提升． 基础考点1　函数的表示 1．(2017·山东卷)设f (x)＝若f (a)＝f (a＋1)，则等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 2．(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x)＝则满足f (x＋1)<f (2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1，0) D．(－∞，0) 3．(2023·北京卷改编)设a>0，函数f (x)＝给出下列三个结论： ①f (x)在区间(a－1，＋∞)上单调递减； ②当a≥1时，f (x)存在最大值； ③设M(x1，f (x1))(x1≤a)，N(x2，f (x2))(x2>a)，则|MN|>1． 其中所有正确结论的序号是________． 分段函数问题常见类型及解题策略 (1)求函数值：必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则； (2)求函数最值：先求出每个区间上的最值，然后依据“大中取大，小中取小”的原则求值域； (3)求参数：“分段处理”，即采用代入法列出各区间上的方程，求解即可； (4)解不等式：常依据分段函数的单调性或结合函数图象求解，注意函数的定义域． 提醒：研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则． 1．[函数的定义域]函数f (x)＝的定义域为(　　) A． B．(2，＋∞) C．∪(2，＋∞) D． 2．[函数的新定义]设函数f (x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f (x)＝－f (y)成立，则称函数f (x)为“H函数”．下列为“H函数”的是________．(填序号) ①y＝sin x cos x；②y＝ln x＋ex；③y＝2x；④y＝x2－2x. 3．[分段函数求参数问题]设函数f (x)＝若f (f (a))＝4，则a＝________． 4．[分段函数不等式的求解问题]设函数f (x)＝则满足f (x)＋f (x－1)≥2的x的取值范围是________． 基础考点2　函数的图象及应用 1．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图象大致为(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 2．(2023·天津卷)函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为(　　) A．f (x)＝ B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ 3．(2019·全国Ⅱ卷)设函数f (x)的定义域为R，满足f (x＋1)＝2f (x)，且当x∈(0，1]时，f (x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f (x)≥－，则m的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C． D． 函数图象的识别及应用 (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象． (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察． 提醒：图象平移与整体放缩不改变图象的对称性，求解较复杂函数图象的对称点或对称轴时可先平移． 1．[函数图象的识别]函数y＝ln ·cos 2x的图象可能是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D 2．[函数图象的变换]若函数y＝f (x)的图象如图所示，则函数y＝－f (x＋1)的图象大致为(　　) 　 A 　　　　B 　　　　　C　　　　D 3．[函数图象的应用]给定min{a，b}＝，已知函数f (x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f (x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________． 能力考点　函数的性质及应用 1．(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 2．(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (2x＋1)为奇函数，