08 第1部分 专题3 强基专题3 立体几何中的截面问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习讲义（老教材）

　立体几何中的截面问题 【例】　(1)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α．平面α截此正方体所得截面有如下四个结论： ①截面形状可能为正三角形； ②截面形状可能为正方形； ③截面形状不可能是正五边形； ④截面面积最大值为3． 其中所有正确结论的选项是(　　) A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ (2)(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°．以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　． (3)(2023·广安模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2，S是A1B1的中点，P是A1D1的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ∥平面SBC1，则点Q的轨迹的长度是　　　　． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 截面形状及相应面积的求法 (1)结合线面平行、垂直的判定定理与性质定理求截面问题； (2)猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (3)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值． [跟进训练] 1．在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，点E为线段PC的中点，过点E作该三棱锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为(　　) A．6π B．8π C．10π D．12π 2．如图，四面体A-BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四边形EFGH满足EF∥BC，FG∥AD，则下列结论错误的是(　　) A．四边形EFGH的周长为定值 B．四边形EFGH的面积为定值 C．四边形EFGH为矩形 D．四边形EFGH的面积有最大值1 3．(2023·四川达州高考预测)已知三棱锥P-ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强基专题3　立体几何中的截面问题 例　(1)D　(2)　(3)　[(1)显然①③成立，②错误，下面说明④成立，如图，当截面是正六边形时，面积最大，MN＝2GH＝OE＝ 所以S＝2××(2＝3故④成立．故选D． (2)如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2．分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝D1M⊥B1C1，且D1M＝．由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝D1P，则D1P＝MG，MH，易得MG＝MH＝GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°×2π×． (3)如图所示，要使PQ∥平面SBC1，作PE∥C1S交C1D1于E，SC1⊂平面SBC1，PE⊄平面SBC1，则PE∥平面SBC1， 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2， 所以D1E＝C1D1＝ 连接PS，BD，取BD的中点O，连接PO， 则四边形PSBO为平行四边形，则PO∥SB，SB⊂平面SBC1，PO⊄平面SBC1， 则PO∥平面SBC1， 又PO∩PE＝P，PO，PE⊂平面POE， 所以平面POE∥平面SBC1， 设平面POE∩平面DCC1D1＝EF， 则DF＝DC＝ 连接OF，则四边形PEFO为平行四边形， Q的轨迹为线段EF， EF＝．] 跟进训练 1．A　[根据题意，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且满足PA＝3，PB＝4，PC＝5， 设三棱锥的外接球半径为R， 故4R2＝32＋42＋52，解得R2＝． 在所有过点E的截面里，当截面过球心O时，截面圆的面积最大，此时半径为R，所以最大的截面圆的面积S1＝πR2＝π；在所有过点E的截面里，当OE与截面垂直时，截面圆的面积最小，此时截面的圆心为E，由于OE＝ 所以最小的截面圆的半径为 r＝ 所以最小的截面圆的面积S2＝π·π， 故截面圆的面积的范围为．故选A．] 2．B　[因为EF∥BC，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD，又平面EFGH∩平面BCD＝GH，所以EF∥GH，