环节2 层级2 第13天 大题抢分练(三)-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习练习（新教材）

第13天　大题抢分练(三) (满分70分　建议用时70分钟) 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2023·江苏连云港模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝． (1)证明：数列}是等差数列； (2)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn＝，求数列{bn}的通项公式． 18．(12分)(2023·广东深圳二模)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin (A－B)＝2sin C． (1)证明：a2＝b2＋2c2； (2)若A＝，a＝3，＝3，求AM的长度． 19．(12分)已知函数f (x)＝mx＋sin2x(m∈R)在区间上单调递减． (1)求m的最大值； (2)若函数f (x)的图象在原点处的切线也与函数g(x)＝x ln x＋1的图象相切，求m的值． 20．(12分)(2023·广东江门模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝1，CD＝2，BC＝5，PA＝2． (1)求证：AB⊥PC． (2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角M­AC­D的余弦值为？若存在，求三棱锥M­ABC的体积；若不存在，请说明理由． 21．(12分)(2023·山东潍坊二模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，圆M：(x－4p)2＋y2＝4p2，抛物线上一点N到其准线的距离等于其到圆心M的距离，且S△NFM＝． (1)求抛物线C和圆M的方程； (2)过抛物线上一点P(x0，y0)作圆M的切线PA，PB分别交抛物线于A，B两点，已知直线AB的斜率为－，求点P的坐标． 22．(12分)(2023·山东青岛一模)某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试(满分100分)，随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，得到如图所示的样本频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数． (2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用P(X＝k)表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在[90，100]内的概率，求P(X＝k)取最大值时对应的k的值． (3)从测试成绩在[90，100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ，求ξ的分布列及均值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13天　大题抢分练(三) 17．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝＝2， 当n≥2时，Sn＝， 所以， 所以＝2， 故数列}是以＝2为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知＝2＋2(n－1)＝2n，得Tn＝2n， 当n≥2时，bn＝， 当n＝1时，b1＝T1＝2，不符合上式， 故bn＝ 18．解：(1)证明：由sin (A－B)＝2sin C＝2sin (A＋B)， 得sin A cos B－cos A sin B＝2sin A cos B＋2cos A sin B， 则sin A cos B＋3cos A sin B＝0， 由正弦定理和余弦定理得a·＋3b·＝0， 化简得a2＝b2＋2c2． (2)在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc＝9， 又因为a2＝b2＋2c2， 所以b2＋2c2＝b2＋c2＋bc＝9，所以b＝c＝， 所以B＝C＝． 由＝3，得BM＝＝1， 在△ABM中，AM2＝c2＋－2c··cos B＝3＋1－3＝1， 所以AM＝1． 19．解：(1)∵f (x)＝mx＋sin2x(m∈R)， ∴f ′(x)＝m＋2sinx cos x＝m＋sin 2x． ∵函数f (x)在区间上单调递减， ∴f ′(x)≤0， 即m≤－sin 2x在上恒成立， 当x∈时，2x∈， 则当2x＝，即x＝时，－sin 2x取得最小值－1． ∴m≤－1，∴m的最大值为－1． (2)f (x)的定义域为R，g(x)的定义域为(0，＋∞)． 由f ′(x)＝m＋sin 2x，得f ′(0)＝m＋sin 0＝m． ∴函数f (x)的图象在原点处的切线方程为y＝mx， 由g(x)＝x ln x＋1，得g′(x)＝ln x＋1， 设函数g(x)＝x ln x＋1的图象在(x0，x0ln x0＋1)处的切线为l，则l：y－(x0ln x0＋1)＝(ln x0＋1)·(x－x0)①． 且l过原点，m＝ln x0＋1， 将x＝0，y＝0代入①，解得x0＝1． ∴m＝ln 1＋1＝1． 20．解：(1)证明：因为AD⊥CD，