环节2 层级1 重点培优16-20-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习练习（新教材）

重点培优16　比较大小问题 1．(2023·北京西城一模)设a＝lg 2，b＝cos 2，c＝20.2，则(　　) A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c 2．已知a＝sin 0.1，b＝0.1，c＝ln ，则(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c 3．已知a＝e0.1－1，b＝sin 0.1，c＝ln 1.1，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 4．(2023·浙江温州二模)已知a＝e0.1，b＝，c＝1.052，则(　　) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b 5．设a＝，b＝，c＝2ln ，则(　　) A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c 6．(2023·山东青岛一模)已知函数f (x)＝x3－sin x，若θ∈，a＝f ((cos θ)sin θ)，b＝f ((sin θ)sin θ)，c＝－f ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 7．已知a＝e0.03－1，b＝ln 1.03，c＝tan 0.03，其中e＝2.718 28…为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．a＞b＞c 8．(多选)已知a＞0，ea＋ln b＝1，则(　　) A．a＋ln b＜0 B．ea＋b＞2 C．ln a＋eb＜0 D．a＋b＞1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优17　隐零点问题 (2023·新高考Ⅱ卷)(1)证明：当0＜x＜1时，x－x2＜sin x＜x； (2)已知函数f (x)＝cos ax－ln (1－x2)，若x＝0是f (x)的极大值点，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优18　极值点偏移问题 (2023·山东聊城二模)已知函数f (x)＝ln x＋(a∈R)，设m，n为两个不相等的正数，且f (m)＝f (n)＝3． (1)求实数a的取值范围； (2)证明：a2<mn<ae2． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优18 解：(1)由题意，f (x)＝3有两个不相等正根， 所以ln x3有两个不相等正根，即a＝3x－x ln x有两个不相等正根， 记函数h(x)＝3x－x ln x，则h′(x)＝2－ln x， 令h′(x)＝0，得x＝e2，令h′(x)>0，得0<x<e2，令h′(x)<0，得x>e2， 所以函数h(x)＝3x－x ln x的单调递增区间为(0，e2)，单调递减区间为(e2，＋∞)， 令h(x)＝0得x＝e3，且h(e2)＝e2，x无限趋近于0时，函数值无限趋向于0， 作出函数h(x)＝3x－x ln x的图象如图所示． 要使a＝3x－x ln x有两个不相等正根， 则函数y＝a的图象与函数h(x)＝3x－x ln x的图象有两个交点， 由图知0<a<e2， 故实数a的取值范围是(0，e2)． (2)证明：函数f (x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x) 当a≤0时，f ′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a>0时， 若0<x<a，则f ′(x)<0，f (x)在(0，a)上单调递减， 若x>a，则f ′(x)>0，f (x)在(a，＋∞)上单调递增． 由题意，不妨设0<m<a<n． 先证明mn>a2． 要证mn>a2，即证n> 因>a，n>a，且f (x)在(a，＋∞)上单调递增， 故只需证明f <f (n)＝f (m)， 令g(x)＝f f (x)2ln x2ln a(0<x≤a)， 则g′(x)(x－a)2≥0，所以g(x)在(0，a)上单调递增， 所以当0<x<a时，g(x)<g(a)＝0，则有f <f (x)， 因为0<m<a，所以f <f (m)， 则f <f (n)，故mn>a2． 再证mn<ae2，即证n< 因为n>a>a，且f (x)在(a，＋∞)上单调递增， 只需证明f >f (n)＝3，即证ln a－ln m1>0， 因为f (m)＝ln m3， 所以ln a＝ln m＋ln (3－ln m)， 所以只需证ln (3－ln m)－1>0， 令φ(x)ln (3－ln x)－1，0<x<e2， 则φ′(x)令t(x)＝x(3－ln x)，0<x≤e2， 当0<x<e2时，t′(x)＝2－ln x>0，所以t(x)在(0，e2)上单调递增， 当0<x<e2时，t(x)<t(e2)＝e2，于是φ′(x)<0， 从而可得φ(x)在(0，e2)上单调递减，故φ(x)>φ(e2)＝0，所ln (3－ln m)－1>0成立，故mn<ae2． 综上，a2<m