环节2 层级1 重点培优11-15-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习练习（新教材）

重点培优11　四点共圆问题 (2023·江苏南通模拟)在平面直角坐标系中，已知圆E：(x＋2)2＋y2＝4和定点F(2，0)，P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴正半轴交于点A，过点T(t，0)(－1＜t＜1)的直线l与曲线C交于点M，N(异于点A)，直线MA，NA与直线x＝t分别交于点G，H．若点F，A，G，H四点共圆，求实数t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优11 解：(1)因为Q在线段PF的中垂线上，所以|QP|＝|QF|， 故||QE|－|QF||＝||QF|±|EP|－|QF||＝|±2|＝2＜|EF|＝4， 所以点Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线，其焦距2c＝4，c＝2，且2a＝2，a＝1，故b2＝c2－a2＝3， 所以曲线C的方程为x2－＝1． (2)设直线l：x＝my＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程组 整理得(3m2－1)y2＋6mty＋3t2－3＝0， 则 且 因为F，A，G，H四点共圆，所以∠HAF＋∠HGF＝π， 又∠HAF＋∠TAH＝π，所以∠TAH＝∠TGF， 故Rt△TAH∽Rt△TGF，所以， 即|TA|·|TF|＝|TH|·|TG|，所以(1－t)(2－t)＝|yG|·|yH|． 又直线AM：y＝(x－1)， 令x＝t，得yG＝， 同理yH＝， 故|yGyH|＝(t－1)2· ＝(t－1)2· ＝(t－1)2· ＝(t－1)2·＝3|t2－1|＝3(1－t2)，其中－1＜t＜1， 所以(1－t)(2－t)＝3(1－t2)，解得t＝－， 所以实数t的值为－． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优12　圆锥曲线中的双切线问题 (2023·华中师大附中模拟)已知平面曲线C满足：曲线C上任意一点到点的距离比到直线y＝－的距离小1． (1)求曲线C的方程； (2)D为直线y＝－上的动点，过点D作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB过定点； (3)在(2)的条件下，以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优12 解：(1)由题意知，曲线C是y＝ 故C的方程为x2＝2y． (2)证明：设DA(x1，y1)，则y1 又因为yx2，y′＝x，则切线DA的斜率为x1， 故y1x1(x1－t)，整理得2tx1－2y1＋1＝0． 设B(x2，y2)，同理得2tx2－2y2＋1＝0． A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足直线方程2tx－2y＋1＝0． 于是直线2tx－2y＋1＝0过点A，B，而两个不同的点确定一条直线， 所以直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0，即2tx＋(－2y＋1)＝0， 当2x＝0，－2y＋1＝0时等式恒成立． 所以直线AB恒过定 (3)由(1)得直线AB的方程为y＝tx x2－2tx－1＝0，Δ＝4t2＋4＞0， 所以x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB||x1－x2|2(t2＋1)． 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则 d1d2 因此，四边形ADBE的面积 S|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3) 设M为线段AB的中点，则M(t，t2－2)(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1． 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4 因此，四边形ADBE的面积为3或4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优13　非对称韦达定理 1．(2023·河南TOP二十名校联考模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，|PA|＝|PO|，∠APO＝90°，△APO的面积为1． (1)求椭圆C的方程； (2)设B为C的右顶点，过点(1，0)且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：3tan∠MAB＝tan ∠NBA． 2．(2023·浙江杭州二模)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，△PAB面积的最大值为2． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，且3k1＝5k2． ①求证：直线PQ经过定点． ②设△PQB和△PQA的面积分别为S1，S2，求|S1－S2|的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优13 1．解：(1)不妨设点P在x轴的上方，由椭圆的性质可知|OA|＝a． ∵△APO是以P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴P1，1，整理得a2＝3b2． ∵△APO的面积为1，∴a1，∴a2＝4， ∴b2 故椭圆C的方程1． (2)证明：设直线AM的斜率为k1，