环节2 层级1 重点培优6-10-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习练习（新教材）

重点培优10　统计与概率中的建模创新题 1．(2023·辽宁名校联考二模)根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，并把钢管内径在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为一等品，钢管内径在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1 000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图： (1)通过检测得样本数据的标准差s＝0.3，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率p1；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表) (2)假如企业包装时要求把2个一等品和n(n≥2，n∈N)个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f (p)，求当n为何值时，f (p)取得最大值，并求出最大值． 参考数据：36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1≈185． 2．(2023·广东茂名二模)现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn． (1)求X1的分布列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求Xn的期望． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优10 1．解：(1)由题意估计从该企业生产的产品中随机抽取1 000件的平均数为185×0.2＝37， 所以μ＝37，σ＝s＝0.3， 则μ－σ＝37－0.3＝36.7，μ＋σ＝37＋0.3＝37.3，μ＋2σ＝37＋0.6＝37.6， 则一等品内径在(μ－σ，μ＋σ)内，即(36.7，37.3)，二等品内径在(μ＋σ，μ＋2σ)内，即(37.3，37.6)， 所以该企业生产的产品为正品的概率为 p1＝P(36.7＜X＜37.6)＝(0.8＋1.1＋0.8＋0.65)×0.2＋0.4×0.1＝0.71． (2)①从n＋2件正品中任选2个， 所以某箱产品抽检被记为B的概率为 p＝11 ②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p， 则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f (p)p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)， f ′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(5p－3)(p－1)， 所以当pf ′(p)＞0，函数f (p)单调递增， 当pf ′(p)＜0，函数f (p)单调递减， 所以当pf (p)取得最大值 f pn＝3或n(舍去)． 所以当n＝3时，f (p)取得最大 2．解：(1)由题可知，X1的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知： P(X1＝0)P(X1＝1)P(X1＝2) 故X1的分布列如下表： X1 0 1 2 P (2)由全概率公式可知： P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝1|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝1|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝1|Xn＝0) P(Xn＝1)P(Xn＝2)P(Xn＝0)P(Xn＝1)P(Xn＝2)P(Xn＝0)， 即an＋1anbn(1－an－bn)， 所以an＋1＝an 所以an＋1a1＝P(X1＝1) 所以数a1 所以anan (3)由全概率公式可得： P(Xn＋1＝2) ＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝2|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝2|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝2|Xn＝0) P(Xn＝1)P(Xn＝2)＋0·P(Xn＝0)， 即bn＋1anbn， 又anbn＋1bn 所以bn＋1 又b1＝P(X1＝2) 所以b10， 所以bn0， 所以bn 所以E(Xn)＝an＋2bn＋0(1－an－bn)＝an＋2bn＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优6　数列与不等式 1．(2023·四省联考)记数列{an}的前n项和为Tn，且a1＝1，an＝Tn－1(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设m为整数，且对任意n∈N*，m≥＋…＋，求m的最小值． 2．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，是公差为1的等差数列，{bn＋1－bn}是公差为2的等差数列． (1)若b2＝2，求{an}，{bn}的通项公式； (