环节2 层级1 重点培优1-5-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习练习（新教材）

重点培优1　平面向量的最值与范围问题 1．如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点．若＝x＋y，则2x＋2y的最大值为(　　) A．　　　B．2　　　C．　　　D．1 2．在Rt△ABC中，AB＝AC，点M，N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足＝k·.当取得最小值时，实数k的值为(　　) A． B． C． D． 3．如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，…的图形．已知P是平面四边形ABCD内一点，则的取值范围是(　　) A． B．(－1，)　 C． D． 4．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠ABC＝75°，∠ADC＝105°，AB＝2，AD＝．若点E为线段CD上的动点，则的最小值为(　　) A．－ B．－　　　　 C． D． 5．(多选)如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB＝，点C，D分别为线段OA、OB上的动点，且CD＝1，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是(　　) A．的最小值为0 B．的最小值为1－ C．的最大值为1 D．的最小值为0 6．(2023·湖南长沙模拟)如图，莱洛三角形是以正三角形ABC的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的．已知AB＝2，点P为上一点，则·(的最小值为________． 7．(2023·福建漳州三模)已知△ABC，点D满足＝，点E为线段CD上异于C，D的动点，若＝λ＋μ，则λ2＋μ2的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 层级一　重点培优　攻坚克难 重点培优1 1．A　[法一：(坐标法)以点O为坐标原点，过点O平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由已知可得A，B，C， 点P在以点O为圆心，为半径的圆上， 所以可设P，0≤θ＜2π， 则＝(2，0)，＝(1，)，由＝x＋y，可得2x＋y＝cos θ＋1，y＝sin θ＋， ∴2x＋2y＝cos θ＋1＋sin θ＋，∵0≤θ＜2π，∴≤θ＋， ∴当θ＝时，2x＋2y的最大值为．故选A． 法二：(等和线法)如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设＝λ＋μ，则λ＋μ＝1． 因为BC∥EF，所以设＝k，则k∈， 所以＝k＝k＝λ＋μ＝λk＋μk，所以x＝λk，y＝μk， 所以2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k∈．故选A．] 2．C　[法一： 建立平面直角坐标系如图所示． 设AB＝AC＝3，点P(x，3－x)，则M(1，0)，N(2，0)，2x2－9x＋11，其中x∈[0，3]，当xPk故选C． 法二：(利用极化恒等式)如图，取MN中点D，由极化恒等式，||2－||2， 所以当DP⊥BCk故选C．] 3．D　[如图，延长BC，过点D做DE⊥BC交BC的延长线于点E． 因为DE⊥BC，DC＝1，∠DCE＝45°，所以CE＝． 由图可知当P在A点处时，上的投影有最大值1，当P在D点处时，上的投影有最小值－， 又因为||＝1，所以的取值范围是． 故选D．] 4．B　[根据题意，连接EA，EB，取AB中点为F，作图如图所示． －1， 在△ADF中，由余弦定理可得： DF2＝4－2cos 30°＝1，即DF＝1， 则∠FDA＝∠FAD＝30°，故∠FDE＝75°， 显然当且仅当FE⊥DC时，||取得最小值， 故||min＝sin 75°×DF＝－1的最小值为－1＝－． 即的最小值为－．故选B．] 5．BCD　[以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，所以B(0，1)，A(1，0)， 设∠EOA＝θ，则E(cos θ，sin θ)， ＝(cos θ，sin θ)，＝(－1，1)，所以＝sin θ－cos θ＝， 因为θ∈，所以θ－， 所以sin ， 所以∈，的最小值为－1， 故A错误； ＝(1－cos θ，－sin θ)，＝(－cos θ，1－sin θ)， 所以＝－cos θ＋cos2θ－sinθ＋sin2θ＝1－， 因为θ∈，所以θ＋， 所以sin ， 所以1－， 所以的最小值为1－，故B正确； 设C(t，0)(t∈[0，1])，又CD＝1，所以OD＝，可得D(0，)， ＝(t－cos θ，－sin θ)，＝(－cos θ，－sin θ)， 所以＝－t cos θ＋cos2θ－sinθ＋sin2θ＝1－(t cosθ＋sin θ) ＝1－sin (θ＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝t， 又t∈[0，1]，所以cos φ，sin φ∈[－1，0]，所以φ∈，φ＋θ∈[0，π]， sin (φ＋θ)∈[0，1]，－sin (φ＋θ)∈[0，1]，所以∈[0，1]， 所以的最小值为0，最大值为1，故CD正确．故选BCD．] 6．10－4　[设D为BC的中点，E为AD的中点，