环节1 专题限时提分14-16 圆锥曲线相关-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习练习（新教材）

专题限时提分(十四)　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．(2023·山西晋中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C经过点(，1)，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程． 2．(2023·湖北武汉二调)过坐标原点O作圆C：(x＋2)2＋y2＝3的两条切线，设切点为P，Q，直线PQ恰为抛物E：y2＝2px(p>0)的准线． (1)求抛物线E的标准方程； (2)设点T是圆C上的动点，抛物线E上四点A，B，M，N满足：＝2＝2，设AB中点为D. ①求直线TD的斜率； ②设△TAB面积为S，求S的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时提分(十四) 1．解：(1)由e21a2＝3b2， 所以椭圆C的方程1， 把点(1)的坐标代入上式，1，可得b2＝2，所以a2＝6，c＝2，故椭圆C的方程1． (2)由(1)知焦点F的坐标为(2，0)，若直线l的斜率为0， 则O，A，B三点不能构成三角形， 所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋2， 联立方程消去x，得(m2＋3)y2＋4my－2＝0， 所以Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－， S△AOB＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝＝＝. 令＝t(t≥1)，则S△OAB＝＝≤＝， 当且仅当t＝时，等号成立，即△OAB面积的最大值为. 令＝，解得m＝±1， 所以此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 2．解：(1)设直线PQ与x轴交于P0. 由几何性质易得：△CPP0与△OCP相似， 所以＝，即＝·， 所以3＝·2，解得p＝1. 所以抛物线E的标准方程为y2＝2x. (2)设T，A，B. ①由题意，TA中点M在抛物线E上， 即＝2·， 又＝2x1，将x1＝代入， 得：＝0， 同理：＝0， 有 ，此时D点纵坐标为＝y0， 所以直线TD的斜率为0. ②因为＝＝＝， 所以点D， 此时S＝·， 又＝＝， ＝＝， 所以S＝·， 又因为点T在圆C上，有＝3，即－4x0－1， 代入上式可得 S＝·＝·， 由－2－≤x0≤－2＋， 所以x0＝－3时，S取到最大值·＝48. 所以S的最大值为48. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时提分(十五)　圆锥曲线中的定点、定值、定直线 1．(2023·山东聊城一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为60°，且C上的点到F的距离的最小值为1． (1)求C的方程； (2)设点O(0，0)，M(0，2)，动直线l：y＝kx＋m与C的右支相交于不同两点A，B，且∠AFM＝∠BFM，过点O作OH⊥l，H为垂足，证明：动点H在定圆上，并求该圆的方程． 2．(2023·广东梅州一模)已知动圆M经过定点F1(－，0)，且与圆F2：(x－)2＋y2＝16内切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设PB交直线x＝4于点T，连接AT交轨迹C于点Q．直线AP，AQ的斜率分别为kAP，kAQ． (i)求证：kAP·kAQ为定值； (ii)证明：直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标． 3．(2023·重庆八中模拟)如图，平面直角坐标系xOy中，直线l与y轴的正半轴及x轴的负半轴分别相交于P，Q两点，与椭圆E：＋＝1相交于A，M两点(其中M在第一象限)，且＝，N与M关于x轴对称，延长NP交椭圆于点B． (1)设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值； (2)求直线AB的斜率的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时提分(十五) 1．解：(1)设F(c，0)， 由已知得 解得a＝1，b＝，c＝2， 所以C的方程为x2－＝1． (2)证明：由(1)得F(2，0)，＝(－2，2)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，于是|| ＝＝2x1－1， 同理||＝2x2－1， 由∠AFM＝∠BFM，得cos ∠AFM＝cos ∠BFM， 即， 即． ， ， ， ， k－1＋＝k－1＋， ， 即(2m＋k＋3)＝0， 因为x1≠x2，所以2m＋k＋3＝0， 所以l的方程可化为y＝k， 因此l过定点N． 又因为OH⊥l垂足为H，所以动点H在以ON为直径的圆上，该圆的方程为． 2．解：(1)设动圆的半径为r，由题意得圆F2的圆心为F2(0)，半径R＝4， 所以|MF1|＝r，|MF2|＝R－r， 则|MF1|＋|MF2|＝4>2|F1F2|． 所以动点M的轨迹C是以F1，F