环节1 专题限时提分9 空间向量与立体几何-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习练习（新教材）

专题限时提分(九)　空间向量与立体几何 一、单项选择题 1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝a，AA1＝a，直线AC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为，则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为(　　) A．　　　　B．　　　C．　　　D． 2．(2023·山东聊城模拟)如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，若AB＝3，BD＝2，CD＝2，AC＝，则平面ABD与平面CBD的夹角为(　　) A． 　　　B．　　　C． 3．(2023·四川乐山模拟)已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是正方形，AB＝2，AA1＝2，点B1在底面ABCD的射影为BC的中点H，则直线AD1与平面ABCD所成角的正弦值为(　　) A． 　　　B．　　　C．　　　D． 4．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝PA＝2，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是(　　) A． 　　　B．　　　C．　　　D． 5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，下列四个结论中，正确的是(　　) A．EF∥平面A1BCD1 B．存在点E，使EF⊥平面BB1C1C C．存在点E，使EF∥A1C D．DB1⊥EF 二、多项选择题 6．(2023·山东威海一模)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P满足＝＋x＋y，x∈[0，1]，y∈[0，1]，则(　　) A．当x＝1时，D1P＋BP的最小值为 B．当x＝y时，有且仅有一点P满足DB1⊥A1P C．当x＋y＝1时，有且仅有一点P满足到直线A1B1的距离与到平面ABCD的距离相等 D．当x2＋y2＝1时，直线AP与C1D1所成角的大小为定值 7．(2023·江苏常州模拟)布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则(　　) A．cos 〈〉＝ B．＝－2＋2 C．点C1到直线CQ的距离是 D．异面直线CQ与BD所成角的正切值为 三、填空题 8．如图，若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，∠B1AB＝，E是D1D的中点，则A1C1到平面EAC的距离为________． 9．半正多面体(又称作“阿基米德体”)，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，其构成体现了数学的对称美．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正十四面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体沿共顶点的三条棱的中点截去八个相同的三棱锥所得，则这个半正多面体的体积为 ________；若点E为线段BC上的动点，则直线DE与平面AFG所成角的正弦值的取值范围为 ________． 四、解答题 10．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1． (1)证明：A1C＝AC； (2)若直线AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． 11．(2023·辽宁沈阳模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD＝O1，AC∩MN＝G．沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P­ABMND． (1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论． (2)当四棱锥P­MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值． (3)在(2)的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角Q­MN­P的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时提分(九) 1．A　[取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，过点O且平行于AA1的直线为z轴建立空间直角坐标系． 设a＝1，则AA1＝，易知AA1⊥平面A1B1C1，则直线AC1与平面A1B1C1所成的角为∠AC1A1，得sin ∠AC1A1＝，得AC1＝，则AC＝，OB＝，则B，C，A1，B1，所以， 则cos 〈〉＝＝－， 故异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为．故选A．] 2．C　[设平面ABD与平面CBD的夹角为θ 由题意可得： 00||·||·cos 3×2cos (π－θ)＝－6cos θ，∵ ()222219＝9＋12＋4－12cos θ，解得cos θ 故平面ABD与平面CBD的夹角故