环节1 专题限时提分5 解三角形-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习练习（新教材）

专题限时提分(五)　解三角形 一、单项选择题 1．(2023·河北高三学业考试)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．(2023·北京东城一模)在△ABC中，a＝2，b＝2c，cos A＝－，则S△ABC＝(　　) A． B．4 C． D．2 3．(2023·湖南长郡中学模拟)如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0<a<3b)，则此山的高度为(　　) A． B． C． D． 4．(2023·河南名校联考模拟)克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为圆，∠BAD＝120°，∠ABC＝45°，AB＝AD，则四边形ABCD的周长为(　　) A．4＋6 B．10 C．4＋4 D．4＋5 5．(2023·江苏南通基地大联考)在△ABC中，已知A＝60°，BC＝2，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 二、多项选择题 6.(2023·辽宁六校联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＝sin B，且cos A＝，则下列结论正确的是(　　) A．a＋c＝3b B．tan A＝2 C．△ABC的周长为4c D．△ABC的面积为a2 7．锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c－2b cos A，则(　　) A．A＝2B B．B的取值范围是 C．若b＝3，c＝4，则a＝ D．的取值范围是(，) 三、填空题 8．(2023·山东青岛一模)湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园．已知∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，∠BAC＝30°，∠DBC＝60°，AB＝2 km，则CD＝________km. 9．(2023·辽宁一模)在△ABC中，∠BAC＝120°，D在BC上，AD⊥AC，AD＝1，则＋＝________． 四、解答题 10．(2023·广东省一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B．求： (1)角C的大小； (2)sin A＋sin B＋sin C的取值范围． 11．(2023·湖北武汉二调)在△ABC中，AB＝2，D为AB中点，CD＝. (1)若BC＝，求AC的长； (2)若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时提分(五) 1．D　[∵sin C＝2sin B，∴c＝2b，结合a2－b2＝bc可得a＝b. 由余弦定理的推论可得cos A＝＝＝. 又∵A∈，∴A＝．故选D．] 2．[a＝2，b＝2c，cos A＝＝－，所以＝－，解得c＝2，b＝4， 因为A∈，所以sin A＝，S△ABC＝bc sin A＝×2×4×＝．故选C．] 3．D　[如图，设点P在地面上的正投影为点O，则 ∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°， 设山高PO＝h，则AO＝h，BO＝h，CO＝，在△AOC中，cos ∠ABO＝－cos ∠CBO， 由余弦定理，得＝－， 整理得h2＝，所以h＝．故选D．] 4．A　[连接AC，BD. 由∠BAD＝120°，∠ABC＝45°及正弦定理，得＝＝4， 解得BD＝6，AC＝2. 在△ABD中，∠BAD＝120°，AB＝AD，BD＝6， 所以AB＝AD＝2. 因为四边形ABCD内接于半径为2的圆， 它的对角互补，所以AC·BD＝AB·DC＋AD·BC，所以12＝2，所以BC＋CD＝，所以四边形ABCD的周长为4＋6．故选A．] 5．C　[由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc， 即4＝b2＋c2－bc，即b2＋c2＝4＋bc， 所以4＝b2＋c2－bc≥bc， 所以bc≤4，当且仅当b＝c时等号成立． 因()， 所(2)(b2＋c2＋bc)(4＋bc＋bc)≤(4＋8)＝3， ∴||≤故选C．] 6．ABD　[由正弦定理得ba＝b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，A正确； 由cos A＝可得sin A＝＝， 则tan A＝＝2，B正确； 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，又