27 环节1 专题6 §6 利用导数解决不等式恒(能)成立问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 S6 利用导数解决不等式恒（能）成立问题 能力考点1端点效应解决单变量不等式恒（能）成立问题 以例说法 【典例1】(2022·新高考1Ⅱ卷)已知函数f()=xcr-c. (1)当a=1时，讨论fx)的单调性： (2)当x>0时，f)一1，求实数a的取值范围： (3)设n∈N,i 证明： 南+2本+…+>(n+1). [听课记录] 反思领悟 1.解决不等式恒（能）成立参数范围问题的策略 (1)求最值法，将恒（能）成立问题转化为利用导数求函数的最值问题： (2)分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a心f(x)mx或af(x)mim的形式，利 用导数求出f(x)的最值，即得参数的取值范围， 2.函数参数的不等式的恒（能）成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注 意结合端点处导数的符号合理分类讨论（端点效应十必要性探路）， 3,导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等 式 学完就练 1.【高考变式]已知函数fw)=咎(e为自然对数的底数). (1)求f(x)的最大值： 独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)设a为整数，若e≥lnx十a)在定义域上恒成立，求a的最大值： (3)已知neN,证明：h2+(n)+(1n峙)3+.+(1n尝)”<奇 2.已知函数f(x)=e一a sin x-一2x十b(e为自然对数的底数，a,b∈R) (I)当a=1时，存在xo∈（一∞，0]，使得f(xo)0成立，求实数b的取值范围： (2)证明：当一1≤a≤1时，对任意x∈0，+∞)，都有f(x)十1一b>e一x(nx十2). 能力考点2最值转化法解决双变量不等式恒（能）成立问题 以例说法 【典例2】 (2023·福州调研)已知x=方为函数f)=nx的极值点. (1)求a的值： 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)设函数gx)=餐，若x1∈0，十∞)，3x2∈R,使得f()-g(2)≥0，求k的 取值范围， [听课记录] . 反思领悟 常见的双变量不等式恒（能）成立问题的类型 (1)对于任意的1∈[a,b],总存在2∈[m,川，使得f(1)≤g(x2)台f(w)max≤g (x)max. (2)对于任意的m∈[a,,总存在x∈[m,,使得f()≥g2)→f(xmm≥g ()min. (3)若存在x1∈[a,b],对任意的x2∈[m,, 使得f()≤gc2)台f(x)im≤g(x)mim (4)若存在1∈[a,b],对任意的x2∈[m,川， 使得f()≥g(2)台f(xmax≥gxar (5)对于任意的心1∈[a,b],x2∈[m,m, 使得f()≤g(c2)台f(xmmx≤g(xmin· (6对于任意的x1∈[a,b],x2∈[m,川， 使得f(x)≥gc2)→f(c)min≥gxx. 学完就练 1.对任意的，2∈(0，mm>0),且2，若x<x空恒成立，求实数m的最 大值 ·独家授权侵权必究· 亨学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.(2023·北京海淀一模)已知函数f(x)=x sin x-十cosx. (1)当x∈(0，)时，求函数f(x)的单调区间； (2)设函数g)=一x2+2ax.若对任意x:∈[一元，，存在2∈0,1]，使得元f ()≤g(2)成立，求实数a的取值范围 ·独家授权侵权必究· §6　利用导数解决不等式恒(能)成立问题 能力考点1　端点效应解决单变量不等式恒(能)成立问题 以例说法 典例1　解：(1)当a＝1时，f (x)＝(x－1)ex，则f ′(x)＝xex， 当x＜0时，f ′(x)＜0，当x＞0时，f ′(x)>0， 故f (x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)(端点效应)设h(x)＝xeax－ex＋1， 则h(0)＝0，又h′(x)＝(1＋ax)eax－ex， 设g(x)＝(1＋ax)eax－ex，则g′(x)＝(2a＋a2x)eax－ex． 若ag′(0)＝2a－1＞0， 因为g′(x)为连续函数， 故存在x0∈(0，＋∞)，使得∀x∈(0，x0)，总有g′(x)＞0， 故g(x)在(0，x0)上单调递增，故g(x)＞g(0)＝0， 故h(x)在(0，x0)上单调递增，故h(x)＞h(0)＝0，与题设矛盾． 若0＜a≤h′(x)＝(1＋ax)eax－ex＝eax＋ln (1+ax)－ex， 下证：对任意x＞0，总有ln (1＋x)＜x成立， 证明：