24 环节1 专题6 §3 导数与函数的单调性、极值、最值-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

§3　导数与函数的单调性、极值、最值 基础考点1　导数的几何意义和计算 以例说法 【典例1】　(1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x　　　　 B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)求过某点的切线方程时(无论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程． (2)公切线问题，应根据两个函数图象在切点处的切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解． 学完就练 1．[高考变式]若曲线f (x)＝有三条过点(0，a)的切线，则实数a的取值范围为(　　) A．　　 B． C． D． 2．(2023·广东深圳一模)已知函数f (x)＝2＋ln x，g(x)＝a，若总存在两条不同的直线与函数y＝f (x)，y＝g(x)图象均相切，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1)　　　B．(0，2)　　　　C．(1，2)　　　D．(1，e) 3．(2023·湖南长沙模拟)“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线．曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线方程为________，利用上述“切线近以代替曲线”的思想方法计算所得结果为________(结果用分数表示)． 基础考点2　利用导数研究函数的单调性 以例说法 【典例2】　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2　　　B．e　　　C．e-1　　　D．e-2 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b (3)已知函数f (x)＝a＋ln x(a∈R)，讨论函数f (x)的单调性． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．利用导数比较大小或解不等式的策略 利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题，转化为利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式． 2．讨论含参数的函数单调性常见的四个方面 (1)二次项系数的讨论． (2)根的存在性讨论，即“Δ”讨论． (3)根大小讨论． (4)根在不在定义域内讨论． 学完就练 1．[高考变式]已知a＝e0.02，b＝1.02，c＝ln 2.02，则(　　) A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞a＞c 2．(2023·江苏南京二模)已知函数f (x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f ′(x)．若对任意x∈R有f ′(x)>1，f (1＋x)＋f (1－x)＝0，且f (0)＝－2，则不等式f (x－1)>x－1的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)　 C．(2，＋∞) D．(3，＋∞) 3．已知函数f (x)＝sin x＋－mx(m≥0)在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为________． 4．已知f (x)＝x2－(a＋2)x＋2ln x，讨论f (x)的单调性． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础考点3　利用导数研究函数的性质(极值、最值、零点等) 以例说法 【典例3】　(1)(2023·全国乙卷)函数f (x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)　　　 B．(－∞，－3)　 C．(－4，－1) D．(－3，0) (2)(2021·新高考Ⅰ卷)函数f (x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________． (3)(2023·北京高考)设函数f (x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f (x)在