21 环节1 专题5 强基专题8 圆锥曲线中的双切线问题——同构法-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

　圆锥曲线中的双切线问题——同构法 类型1　彭赛列闭合定理的应用 【典例1】　(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2，0)，且⊙M与l相切． (1)求C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．双切线问题同构转化后的表达式多角度进行抽象：(1)从方程(根)的角度；(2)从直线(点)的角度． 2．双切线问题的求解思路 已知曲线外一点A1(x0，y0)，向二次曲线C引两条切线A1A2，A1A3，切点分别为A2，A3.设A2(x1，y1)，A3(x2，y2)， 第1步：分别写出切线A1A2，A1A3的方程(注意斜率)； 第2步：联立A1A2，A1A3与曲线C的方程，利用相切条件，得到代数关系式①，②，从而以A1的横或纵坐标为参数，进一步构造点A1，A3的横或纵坐标满足的同构方程③； 第3步：利用方程③中根与系数的关系判断，A2A3与曲线的位置关系，或完成其他问题． [跟进训练] 1．(2023·湖南新高考联盟4月模拟)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，且离心率为．F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：x＝3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF． (1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标； 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)记△AFM，△BFM的面积分别为S1和S2，当|S1－S2|取最大值时，求直线AB的方程． 参考结论：点Q(x0，y0)为椭圆＝1上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为＝1． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　阿基米德三角形的应用 【典例2】　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4． (1)求p的值； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 此题的本质是抛物线中的阿基米德三角形，对于抛物线C：y2＝2px(p＞0)，设P(x0，y0)，PA，PB是C的两条切线，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切点，则阿基米德三角形PAB的面积为S△PAB＝． [跟进训练] 2．(多选)(2023·广东深圳二模)设抛物线C：y＝x2的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则(　　) A．PQ⊥x轴 B．PF⊥AB C．∠PFA＝∠PFB D．|AF|＋|BF|＝2|PF| 3．(2023·山