19 环节1 专题5 §5 圆锥曲线中的计算、证明、存在性问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

§5　圆锥曲线中的计算、证明、存在性问题 能力考点1　圆锥曲线中的计算问题 以例说法 典例1　解：(1)因为点A(2，1)在双曲线C1(a＞1)上，所1，解得a2＝2，即双曲线Cy2＝1． 易知直线l的斜率存在，设l：y，Q(x2，y2)， 联y，可得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0， 所以Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0⇒m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝x1x2 所以由kAP＋kAQ＝0，可0，即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以2k×(m－1－2k)×4(m－1)＝0， 化简得，8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，所以k＝－1或m＝1－2k，当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1， 过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1． (2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)，因为kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π， 因为tan ∠PAQ＝2tan (β－α)＝2tan 2α＝－2 tan2α－tanα0，解得tan α 于是，直线AP：y(x－2)＋1， 直线AQ：y＝(x－2)＋1， 联 消去y，可x2＋2(1－2)x＋10－40， 因为方程有一个根为2， 所以xPyP 同理可得，xQyQ 所以PQ：x＋y0，|PQ| 点A到直线PQ的距离dS△PAQ 学完就练 解：(1)依题意1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，bc＝1，故椭圆C的方程1． (2)①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，D(2x1，2y1)． 因为P，Q均在椭圆上，11． 又kOP·kOQ＝3x1x2＋4y1y2＝0． 因(xE－x2，yE－y2)＝λ(2x1－xE，2y2－yE)， 可得E 又E在椭圆上，则 1，4λ24(1＋λ)2，4λ2＋1＝(1＋λ)2，解得λ ②由①，可 S△PEQS△QPDS△OPQ， 则S四边形OPEQS△OPQ． 当直线PQ斜率为0时，易知kOP＝－kOQ， 又kOP·kOQ＝kOP＝ 根据对称性不妨取kOP＝，y1>0， 由，得 则P，Q， 此时S△OPQ＝． 当直线斜率不为0时，设PQ的方程为x＝my＋t， 将直线方程与椭圆方程联立有： x， 得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0． 因为Δ＞0，则由根与系数的关系知， 有y1＋y2y1y2 因为3x1x2＋4y1y2＝3(my1＋t)(my2＋t)＋4y1y2＝0，(3m2＋4)y1y2＋3mt(y1＋y2)＋3t2＝0， (3m2＋4)3t2＝0， ∴2t2－3m2－4＝0，2t2＝3m2＋4． |PQ|＝ ＝ ＝ ＝＝2． 又原点到直线PQ距离为， 则此时S△OPQ＝×2． 综上可得四边形OPEQ的面积为． 能力考点2　圆锥曲线中的证明问题 以例说法 典例2　解：(1)设点P的坐标为(x，y)，依题意得|y| 化简得x2＝y 所以W的方程为x2＝y (2)证明：设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|)． 设BAB不与两坐标轴平行， 故可设直线AB的方程为yk(x－t)，不妨设k＞0， 与x2＝yx2－kx＋kt－t2＝0， 则Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2＞0，所以k≠2t． 设A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，所以|AB||x1－t||k－2t||2t－k|， |BC|＝|2kt＋1|，且2kt＋1≠0， 所以2(|AB|＋|BC|)＝(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|)． 所以|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝ 所以|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝ ①当2k－2k2≤0，即k≥1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在上单调递减或是常数函数(当k＝1时是常数函数)，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在上单调递增， 所以当t＝时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k2＋1，又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)＞(k2＋1)＝． 令f (k)＝，k≥1， 则f ′(k)＝， 当1≤k＜时，f ′(k)＜0，当k＞时，f ′(k)＞0， 所以函数f (k)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以f (k)≥f ()＝3， 所以≥3． ②当2k－2k2＞0，即0＜k＜1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在上单调递增，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在上单调递增，所以当t＝－时，|2k2t－k3|＋|2k