17 环节1 专题5 §3 圆锥曲线中的最值、范围问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

§3　圆锥曲线中的最值、范围问题 能力考点1　利用不等式求最值或范围 以例说法 【典例1】　(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3． (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 构造不等式求最值或范围的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系． (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式求最值的5种典型情况： ①s＝(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)． ②s＝≥(基本不等式)． ③s＝(基本不等式)． ④s＝(先分离参数，再利用基本不等式)． ⑤s＝(上、下同时除以k2，令t＝k＋换元，再利用基本不等式)． 学完就练 1．已知椭圆C：＋y2＝1与y轴正半轴交于点D，直线l1：y＝－x－2与椭圆C交于A，B两点，直线DA与直线DB的斜率分别记为k1，k2，且k1＋k2＝λ． (1)求λ的值； (2)若直线l2与椭圆相交于M，N两点，直线DM，DN的斜率分别记作k3，k4，若k3＋k4＝λ，且点D在以MN为直径的圆内，求直线l2的斜率k的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(2023·江苏南通考前模拟)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1的左、右顶点是双曲线C2：＝1(a＞0，b＞0)的顶点，C1的焦点到C2的渐近线的距离为．直线l：y＝kx＋t与C2相交于A，B两点＝－3． (1)求证：8k2＋t2＝1； (2)若直线l与C1相交于P，Q两点，求|PQ|的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．(2023·广东湛江一模)已知F1，F2分别为椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆E的离心率为过F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A，B两点，△F1AB的周长为8． (1)求椭圆E的标准方程； 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)过F1且与l垂直的直线l′与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 能力考点2　利用函数求最值或范围 以例说法 【典例2】　(2022·浙江高考)如图，已知椭圆＋y2＝1．设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用函数法求最值或范围时的策略 解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，把所求最值的几何量或代数表达式表示为某个参数的函数，然后利用函数方法(单调性或导数)进行求解． 学完就练 1．(2023·山东德州一模)在平面直角坐标系中，已知点P到点F的距离与到直线x＝2的距离之比为． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过点(0，1)且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求的取值范围．