14 环节1 专题4 强基专题6 概率中的函数、数列问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

　概率中的函数、数列问题 类型1　概率中的函数问题 【典例1】　(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)． (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)； (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1； (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 概率统计问题与函数的交汇，综合性较强，一是借助二次函数、分段函数的性质，利用单调性求均值、方差的最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解． [跟进训练] 1．(2023·广东东莞模拟)现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p(0＜p≤0.4)，且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠毁；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q(0＜q＜1)，且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁． (1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于0.936； (2)若p＋q＝1，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？说明理由． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　概率中的数列问题 【典例2】　(2023·辽宁大连一模)数学兴趣小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为答对第二题的概率为每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮比赛，先答第一题；②若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；③若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题，答对第二题时比赛结束；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束． (1)令随机变量Xn表示n名同学参加比赛，且在第Xn轮比赛结束，当n＝3时，求随机变量X3的分布列． (2)若把比赛规则③改为：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答．令随机变量Yn表示n名同学参加比赛，且在第Yn轮比赛结束． ①求随机变量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列； ②证明：E(Yn)单调递增，且小于3． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 此题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意． [跟进训练] 2．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率p2，3次传球