11 环节1 专题3 强基专题5 立体几何中的动态问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

　立体几何中的动态问题 类型1　空间位置关系的判断 【典例1】　(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ＝1时，三棱锥P­A1BC的体积为定值 C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 本题以正三棱柱为载体，融向量知识于其中，借助参数λ，μ的变化，将空间点、线、面的位置关系体现得淋漓尽致，鉴于正三棱柱的图形特征，将动态问题坐标化成为解答本题的首选． [跟进训练] 1．(多选)(2023·山东济南二模)如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝E，F，G分别是线段AD，CD，BC的中点，将△ABD沿直线BD折起得到三棱锥A­BCD，则在该三棱锥中，下列说法正确的是(　　) A．直线EF∥平面ABC B．直线BE与DG是异面直线 C．直线BE与DG可能垂直 D．若EG＝AB，则二面角A­BD­C的大小为 类型2　动点轨迹问题 【典例2】　(1)(2023·北京石景山一模)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，给出下列三个命题： ①若点P总满足PD1⊥DC1，则动点P的轨迹是一条直线； ②若点P到直线BB1与到平面CDD1C1的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线； ③若点P到直线DD1的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆． 其中正确的命题个数是(　　) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 (2)(2023·湖北武汉二调)设点A，B是半径为3的球O表面上两定点，且∠AOB＝60°，球O表面上动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹长度为(　　) A．π B．π C．π D．π [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理：一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面相交得直线；三是平面和曲面(圆锥、圆柱侧面、球面)相交得圆、圆锥曲线． [跟进训练] 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别是直线CD，AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为则点P的轨迹是(　　) A．圆的一部分　　　　 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分 类型3　动态最值问题 【典例3】　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C． D．[18，27] (2)如图，在四面体D­ABC中，AD＝BD＝AC＝BC＝5，AB＝DC＝6，若M为线段AB上的动点(不包括端点)，则二面角D­MC­B的余弦值的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在动态变化过程中涉及体积最大(小)、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是： (1)直观判断：在动态变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值． (2)函数思想：通过建系或引入变量，把动态变化过程用函数表示，再利用代数方法求函数的最值． [跟进训练] 3．(2023·山东济南三模)如图，正四面体ABCD的棱AB与平面α平行，且正四面体内的所有点在平面α内的射影构成图形面积的最小值是则该正四面体的棱长为(　　) A．　　　B．1 C．　　　D．2 4．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边△ABC的中心为O．D，E，