10 环节1 专题3 §2 空间向量与立体几何-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

基础考点1　空间位置关系与空间角 以例说法 【典例1】　(2023·新高考Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3． (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P­A2C2­D2为150°时，求B2P． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【典例2】　(2023·湖北省八市联考)如图所示，六面体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠BAD＝AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且BB1⊥平面ABCD，AA1＝CC1(0＜λ≤1)平面BEF与平面ABCD的交线为l． (1)证明：直线l⊥平面B1BDD1； (2)已知EF＝2，三棱锥B1­BDF的体积＝若D1F与平面BDD1所成角为θ，求sin θ的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．利用向量法求线面角的两种方法 (1)法一：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)法二：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 2．利用向量法计算两个平面夹角大小的方法 (1)法向量法：如图1，分别求出两个平面的法向量m，n，若两个平面的夹角为θ，则cos θ＝． (2)方向向量法：如图2，AB⊥l, CD⊥l，若两个平面的夹角为θ，则 cos θ＝． 学完就练 1．(多选)(2023·浙江宁波二模)已知SO⊥平面α于点O，点A，B是平面α上的两个动点，且∠OSA＝∠OSB＝则(　　) A．SA与SB所成的角可能为 B．SA与OB所成的角可能为 C．SO与平面SAB所成的角可能为 D．平面SOB与平面SAB的夹角可能为 2．(2023·广东深圳二模) 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝A1C1⊥A1B． (1)证明：A1A＝A1C； (2)若A1A＝2，BC1＝求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础考点2　空间位置关系与空间距离 【典例3】　(2023·天津高考)如图，在三棱台ABC­A1B1C1中，已知A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点． (1)求证：A1N∥平面C1MA； (2)求平面C1MA与平面ACC1A1夹角的余弦值； (3)求点C到平面C1MA的距离． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求空间距离的方法 (1)点线距的求解方法： 直线的方向向量s―→直线外一点A与直线上一点P构成的向量―→向量在直线的方向向量s上的投影向量的模―→代入公式d＝. (2)点面距的求解方法：向量法、等体积法． 学完就练 1．(2023·福建福州模拟)如图，已知正四棱锥P­ABCD的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．(2023·山东淄博实验中学三模)如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，O为AD的中点． (1)求证：PO⊥BC； (2)若AB∥CD，AB＝8，AD＝DC＝CB＝4，PO＝点E在棱PB上，直线AE与平面ABCD所成角为求点E到平面PCD的距离．