08 环节1 专题3 强基专题3 与球有关的“切”“接”“截”问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

　与球有关的“切”“接” “截”问题 类型1　外接球问题 【典例1】　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为和4其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π　　B．128π　　C．144π　　D．192π (2)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求解空间几何体的外接球问题的策略 (1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径； (2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的； (3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解． [跟进训练] 1．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．5π　 　B．π　 　C．π　 　D．π 2．(2023·四川绵阳三模)已知球O的体积为36π，圆锥SO1的顶点S及底面圆O1上所有点都在球面上，且底面圆O1的半径为2则该圆锥的侧面积为(　　) A．6π B．4π或6π C．8π或4π D．8π 3．(2023·重庆二模)如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为则该圆台的侧面积为(　　) A．60π B．75π C．35π D．35π 4．已知△ABC和△ABD均为边长为2的正三角形，沿公共边AB折叠成60°的二面角，若A，B，C，D均在球O的球面上，则球O的表面积为(　　) A． B． C． D． 类型2　内切球问题 【典例2】　(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 空间几何体的内切球问题的两种解决方法，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径． [跟进训练] 5．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则V的最大值是(　　) A．16π B． C．36π D． 6．如图，三棱锥V­ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AV＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为(　　) A．∶1 B．∶1 C．∶3 D．∶2 7．(2023·广东汕头一模)如图，在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S＝________． 类型3　球的截面问题 【典例3】　(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　) A．64π B．48π C．36π D．32π (2)(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　) A．　　　 B．　　　 C．1　　　 D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤 (1)确定球心O和截面圆的圆心O′； (2)探求球的半径R和截面圆的半径r； (3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量． [跟进训练] 8．(2023·江苏南通三模)已知三棱锥P­ABC，Q为BC中点，PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积