06 环节1 专题2 强基专题2 数列与不等式的综合问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 强基专题2， 数列与不等式的综合问题 )类型1先求和后放缩证明不等式 【典例1】 (2022·新高考I卷)i记Sn为数列a,的前n项和，已知am=1,{三} 是公差为的等差数列。 (1)求{a,}的通项公式： (2)证明：高+卖+…+卖<2 [听课记录] 反思领悟 对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策 略证明不等式。 [跟进训练 1.(2023·石家庄市高中毕业班质检)已知等差数列{am}的各项均为正数，公差d <3,若分别从表中第一、二、三行中各取一个数，依次作为a3,a4,a5,且a, a4,a5中任何两个数都不在同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 5 6 第二行 7 4 8 第三行 11 12 (1)求数列{am}的通项公式： (2)设b,=a+a1阿，数列{bw的前n项和为T,求证：Tn<号 独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 )类型2先放缩后求和证明不等式 【典例2】(2023·湖北黄冈模拟)已知数列{a}满足4=1，a+1=+ (1)求数列{a,}的通项公式： (2)记S,为数列{a,}的前n项和，证明：1≤Sn2. [听课记录] 反思领悟 在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若数列不易求和，可根据数列的项 的结构特征进行放缩，转化为易求和数列来证明 常用放缩： (1京<南=点-(n≥2： 2哈<古=*=（à本）m≥2 (6凉>4=责本： 42(n+1-)=nm<言=话<a标=2(V-V-1) [跟进训练] 2.(2023·山东新高考联盟模拟)在如图所示的平面四边形ABCD中，△ABD的 面积是△CBD面积的两倍，数列{a}满足a1=2,当n≥2时 ,Bi=(a1+21)BA+(a-29BC,记b=. (1)求数列{b}的通项公式： (2求证：岛++…+立圣 独家授权侵权必究· 享学科网书城 8國 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 )类型3与数列有关的不等式恒成立问题 【典例3】 (2023·湖南岳阳二模)已知数列{a,}的前n项和为Sm,a1=1,Sm+ 1=2Sn十2m1 4)证明数列{}是等差数列，并求数列{a}的通项公式： (2)设b=专，若对任意正整数，不等式bm<匹恒成立，求实数m的取值范 27 围。 [听课记录] 反思领悟 解决与数列有关的不等式恒成立问题的关键是通过数列的单调性确定数列的最 值，进而求解 [跟进训练幻 3.(2021·浙江高考)已知数列{an的前n项和为Sn,a=-是，且4Sn+1=3S,-9 独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (n∈N*). (I)求数列{am}的通项公式： (2)设数列{bm}满足3bm十(n一4)a,=0(n∈N),记{bm}的前n项和为Tm.若Tm≤bm 对任意n∈N*恒成立，求实数.的取值范围. ·独家授权侵权必究· 强基专题2　数列与不等式的综合问题 典例1　解：(1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴1，又∵ ∴1(n－1) ∴Sn ∴当n≥2时，Sn－1 ∴an＝Sn－Sn－1 整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1，n≥2，n≥2，∴an＝a1××…×1××…×n≥2， 显然对于n＝1也成立， ∴{an}的通项公式为an (2)证明：2 ∴2×2×2． 跟进训练 1．解：(1)由题意可知，数列{an}为递增数列， 又公差d＜3，所以a3＝5，a4＝7，a5＝9，所以an＝2n－1． (2)证明：bn 所以Tn ＝1Tn 典例2　解：(1)由题意知an≠0，所2n，2n， 从2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋1＝n(n－1)＋1，则an 显然a1＝1满足上式，所以an (2)证明：由(1)知an>0，所以Sn≥a1＝1． 又因为an<(n≥2)，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an≤12<2，所以1≤Sn<2． 跟进训练 2．解：(1)如图所示，过A作AM⊥BD，垂足为M，过C作CN⊥BD，垂足为N，连接AC，交BD于点E， 由题意可得：S△ABD＝2S△CBD，则AM＝2CN，且△AME∽△CNE，2， 可得()∵B，E，D三点共线，(an－1＋2n-1)(an－2n) 可 则an－2n＝2(an－1＋2n-1)，n≥2， 整理2，n≥2，即bn－bn－1＝2，n≥2，故数1为首项，公差为2的等差数列， 则bn＝1＋2(n－1)＝2n－1． (2)证明：由(1)可得：当n＝1时1< 当n≥2时，可< 1< 综上所述