05 环节1 专题2 强基专题1 数列中的奇、偶项问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习讲义（新教材）

　数列中的奇、偶项问题 类型1　条件明确奇、偶项型 【典例1】　(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求解此类问题的关键是理解递推关系，求解时可适当注意原数列中奇、偶项间的内在联系． [跟进训练] 1．(2023·江苏南通基底大联考)设数列的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n＋1． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足b1＝a2，bn＋1＝求数列的前14项的和． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　形如an·an＋1 ＝f(n) 型 【典例2】　在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*． (1)判断数列{bn}是不是等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求Sn． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 an＋1·an＝f (n)，于是an＋1·an＋2＝f (n＋1)，从而．特别地，若f (n)＝a·qn(a，q为非零常数)，则＝q，即数列{an}的奇数项和偶数项分别构成一个公比为q的等比数列． [跟进训练] 2．已知数列满足a1＝3，anan＋1＝9×22n-1，n∈N*，则数列的通项公式为an＝______． 类型3　形如an＋1＋(－1)nan＝f (n)型 【典例3】　数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项的和为(　　) A．1 830　 B．1 835 C．1 880 D．1 850 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 对于an＋1＋(－1)nan＝f (n)型数列，当n为奇数时，an＋1－an＝f (n)；当n为偶数时，an＋1＋an＝f (n)．从而当n为奇数时，n＋1为偶数，故an＋2＋an＋1＝f (n＋1)，于是an＋2＋an＝f (n＋1)－f (n)．当n为偶数时，n＋1为奇数，故an＋2－an＋1＝f (n＋1)，于是an＋2＋an＝f (n＋1)＋f (n)． [跟进训练] 3．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝3n－1，n∈N*，则{an}的前40项的和为(　　) A．860　 B．1 240 C．1 830　 D．2 420 4．(2023·河北沧州模拟)已知Sn是数列的前n项和，若an＋2＋an·cos nπ＝n，S20＝355，则a1＝(　　) A．0　　　B．2 C．4　　　D．6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 典例1　解：(1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1b1＝a2＝a1＋1＝2， b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5． 因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3， 所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*． (2)因为an＋1 所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1， 即a2k＝a2k－1＋1， ① a2k＋1＝a2k＋2， ② a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1， ③ 所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3， 又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(