1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

教材：北师大版（2019）版高中数学必修第二册 课题：4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 一. 课时教学内容 由三角函数的定义抽象正弦函数、余弦函数的基本性质二．课时教学目标 1.利用单位圆推导并理解正弦函数和余弦函数的性质； 2.利用单位圆判断正、余弦函数在某一区间的单调性及最值； 3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，从探索中获得成功的体验，落实直观想象、 逻辑推理、数学运算素养. 三． 教学重点与难点 教学重点：借助单位圆，利用定义抽象性质； 教学难点：正弦函数和余弦函数的基本性质的推导与应用. 四. 教学过程设计 （一）创设情境• 明确对象 上课伊始，让我们再次回顾这个激动人心的视频（播放视频）中国空间站每 90 分钟绕地球运行一周， 每天大约绕地球 15~16 圈。这种运动是周而复始的，如果把轨道定义为一个单位长度，则轨道就是一个单位 圆。前面我们学习了三角函数，就是在单位圆中定义的。 设计意图：研究需要发现问题，寻求方案并明确方向。让学生直观感受圆在生活中无处不在。三角函 数是用单位圆定义的，那么在单位圆中，利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质显得更加自然、 和谐。同时，也能激发学生学习的兴趣，提高对数学学习的热情，培养学生从现实中抽象数学问题的能力， 为数学建模奠定基础。 （二）探究新知 • 抽象性质 探究一：利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质 问题 1：如图，上节课给出的任意角三角函数定义是什么？ 生：对于任意角a 来说， 点 P 的纵坐标 v 是该角的正弦函数值，记作 v =sin a 点 P 的横坐标 u 是该角的正弦函数值，记作 u =cosa 师：回答得非常好！我们用角α表示点 P 的坐标 P（cos α,sin α） 1 师：正弦、余弦分别是以角α为自变量，以单位圆上的点的纵、横坐标为函数值的函数. 利用单位圆来 定义三角函数，可以非常清晰地发现点的坐标与自变量a 的对应关系，今天，我们将利用单位圆的性质研究 正弦函数、余弦函数的性质. 回想研究函数的一般路径：实际背景→概念→图象→性质→实际应用。但是三角函数与其他函数不同， 是利用单位圆定义的，而单位圆具有丰富的几何性质，这种性质反映到三角函数上，就会呈现出丰富的性 质．所以，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数所特有的性质． 研究函数性质，可以从哪几个方面来研究？ 设计意图：在单位圆中利用单位圆的性质来研究正弦函数、余弦函数的性质，核心环节是如何将圆中的 性质规律完美地与正弦函数、余弦函数联系起来，三角函数的定义恰恰可以完美地解决这个问题。单位圆中 点变化，导致点的坐标变化，直接导致正弦函数、余弦函数值在变化，从而发现性质，所以三角函数的定义 是基础，也是必要前提，应当贯穿整节课的始终。 问题 2：如何在单位圆中研究正弦函数的性质？ 师：下面开启今天的探索之旅。三角函数是函数的一种，定义域是我们首先要研究的问题。 (1) 定义域：R 师：定义域是自变量α的取值范围，根据任意角三角函数定义，α的取值范围是 R，所以正弦函数的定义域是 R. (2)最大（小）值，值域 师：我们得到定义域之后，希望得到正弦函数的值域。值域是函数值的取值范围，这就需要研究点 P 在单位圆上纵坐标的变换。（小组探究） 生：当α = 2π + 2kπ,k ∈ Z时，正弦函数v = sin α取得最大值 1；当α = − 2π + 2kπ,k ∈ Z时，正弦函数v = sin α取得最小值-1.故正弦函数的值域是[−1,1] 师：刚刚我们通过单位圆的最高点和最低点抽象出正弦函数的值域，主要用到了什么数学思想？ 生：用了数形结合的思想。 师：很好，我们从数一形一数，最后得出结论，这其实也是我们数学中经常用的研究方法。 （3）周期性 师：接着思考，正弦函数具有周期性吗？ 生：点在周而复始的运动，正弦函数具有周期性。 教师：很好。当我们在研究一个新的函数的性质时，我们应当找寻自变量 和函数值之间的变化规律。当角a 变化时，终边移动，点周而复始地运动，回 到同一位置时，点重合，坐标相等，那么如何用代数形式表示这一个结果呢？ 生:sin (α + 2kπ) = sin α其中k ∈ ℤ。 2 教师：回答得非常好，我们发现，当自变量增加或减小2π的整数倍时，正弦函数值相等，这就是正弦函 数的周期性。 教师：那么正弦函数的周期是多少呢？ 生：周期是2π。 教师追问：还有其他的周期吗？ 生：还有4π，6π，−2π，等等。 师：对于正弦函数，2kπ均是它的周期，其中最小的正值称为最小正周期。在今后的学习中，如果没有 特别说明，我们说的周期都是指最小正周期。所以在研究正弦函数的其他性质时，可以只研究一个周期内的 性质，从而提高效率