2.4.2平面向量及其运算的坐标表示第2课时教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第 2 课时教学设计 （一）课时教学内容 平面向量及其运算的坐标表示 （二）课时教学目标 （1）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 （2）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （3）能用坐标表示平面向量共线的充要条件。 （三）课时重点难点 重点：平面向量及其运算的坐标表示。 难点：对平面向量及运算的坐标表示的理解和应用。 （四）教学过程流程： 设计意图：通过复习回顾向量正交基、正交分解、标准正交 环节一 创设情境，提出问题 基的概念，为后面向量的正交分解搭建脚手架。 设计意图：以问题串为导引，让学生独立思考、自主探究， 环节二 问题导引，建构新知 交流展示，逐步引导学生探究建立向量的坐标与点的坐标之 间的联系、推到得到两个向量和与差的坐标表示以及数乘的 坐标表示，向量共线的充要条件的坐标表示及。 环节三 典例剖析，深化认知 环节四 应用练习，巩固内化 环节五 归纳总结，反思提升 设计意图：通过教材例题的剖析，引导学生感悟平面向量基本定理的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示的应用。 设计意图：通过教材课时练习，使学生进一步理解并能对平面向量正交分解、向量的坐标表示、向量的线性运算的坐标表示进行应用，达到巩固内化的效果。 设计意图：通过引导学生回顾本节课的学习内容：平面向量及其运算的坐标表示的探究过程，帮助学生养成发现、提出、分析、解决数学问题的能力。 （五）教学过程： 引导语：上节课学习了平面向量基本定理，由定理可知，给定平面的一个基 {e1,e2},则平面上的任意向量a,均可唯一表示为a = λ1e1 + λ2e2.换句话说，向 量a可以分解为两个向量λ1e1，λ2e2的和，其中向量λ1e1与e1共线，向量λ2e2 与e2共线。向量的分解到底有什么意义呢？本节课我们一起来继续研究向量的有 关问题。 环节一、创设情境，提出问题 问题 1：请回顾正交基，正交分解，标准正交基的概念. 师生活动：教师提出问题，学生回顾并作答。 设计意图：从学生已有知识出发，为后面的问题研究搭建脚手架。 追问：根据平面向量基本定理，平面内任意一个向量都可以分解为两个不共 线的向量a = λ1e1 + λ2e2，你认为选取怎样的基更有利于向量的运算解决问题？ 师生活动：先有学生独立思考、小组交流，再进行分享。教师在引导学生交 流的基础上帮助学生总结：由向量的运算法则可知，如果选择标准正交基，它们 的模长为 1，数量积为 0，这会给通过向量运算解决问题带来方便。 环节二：问题导引，建构新知 问题 2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数 表示，那么，能否用坐标表示平面直角坐标内的一个向量呢？ 追问 在平面直角坐标系中，如何选择基才能有效地建立直角坐标系与向量 的关系？ 师生活动：教师引导学生思考，得出：为了建立直角坐标系与向量的联系，应该选取如图的与x轴，Y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准正交基。对于 坐标平面内的任意向量a，以坐标原点 O 为起点作OP = a(通常称OP为单位向 量)。又平面向量基本定理可知，有且只有一对实数X,Y,使OP = xi + yj. 因此，a = xi + yj.我们把（x,y）称为向量a在标准正交基{ i,j}下的坐标， 向量a可以表示为a = (x,y). 问题 3：有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，同时它又是直角坐标系中一 个点 P 的坐标。那么，向量的坐标与点的坐标有怎样的联系？ 师生活动：师生共同分析过程如下： 在平面直角坐标系中，点 P 的位置被它的位置向量OP所唯一确定，设点 P 的坐标为(x,y)，容易看出 OP = xi + yj=（x,y）, 即点 P 的位置向量OP的坐标(x,y)也就是点 P 的坐标；反之，点 P 在平面直 角坐标系中的坐标也是点 P 所确定的位置向量OP的坐标。 设计意图：通过点 P 与向量OP的坐标的一一对应关系的研究，为后面学习 平面向量运算的坐标表示及推到线段的中点坐标公式等问题奠定基础；同时也可 以使学生更好地理解向量的坐标的概念。 引导语：在直角坐标系中，利用平面向量基本定理，选择与坐标轴的单位长 度、方向具有一致性的标准正交基，构建了向量的坐标表示，那么，向量的各种 运算是否也能用坐标表示呢？ 问题 4：已知a = (x