第七章 随机变量及其分布（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）

第七章 随机变量及其分布（知识归纳+题型突破） 1、结合古典概型，了解条件概率与事件的独立性的关系，并结合公式计算. 2、结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 3、了解贝叶斯公式(不作考试要求)． 4、掌握离散型随机变量的概念，掌握离散型随机变量的分布列的性质，均值，方差的求解 5、掌握二项分布，能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 6、能够判定随机变量是否服从超几何分布，会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率; 7、能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题, 会求服从超几何分布的随机变量的均值. 1：条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2：乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3：事件的相互独立性 （1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. （2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, . 4：全概率公式 （1）一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 5：两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”, 表示“失败”,定义 如果，则，那么的分布列如下所示： 0 1 我们称服从两点分布或者分布. 6：离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 称 为随机变量的方差，有时也记为.称为随机变量的标准差. 7：二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作． 8：超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，. 其中，，，，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． 9：正态分布 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. 题型一：计算条件概率 【例1】（2024·全国·模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）（2023上·广东深圳·高二校考期末）抛掷甲､乙两颗骰子，若事件：“甲骰子的点数大于4”；事件：“甲､乙两骰子的点数之和大于7”，则下列概率正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024·全国·高三专题练习）某生在一次考试中，共有10道题供选择，已知该生会答其中6道题，随机从中抽5道题供该生回答，至少答对3道题则及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率． 巩固训练 1．（2024上·北京昌平·高二统考期末）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．75% 2．（2024上·天津河北·高三统考期末）甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为 ；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为 . 3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）1886年5月1日，芝加哥的二十一万六千余名工人为争取实行八小时工作制而举行大罢工，经过艰苦的流血斗争，终于获得了胜利.为纪念这次伟大的工人运动，1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率是 题型二：乘法公式应用 【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放