第03讲 7.2 离散型随机变量及其分布列（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第03讲 7.2 离散型随机变量及其分布列 课程标准 学习目标 1.通过具体案例，了解离散型随机变量的 概念，理解随机变量的分布列及其性质。 2.通过具体案例，了解两点分布的概念及 特点。 3.会求离散型随机变量的分布列及两点 分布列的相关量。 通过本节课的学习，要求会求简单应用问题中的离散型随机变量的分布列，能应用分布列的相关性质求问题中的相关量，会应用两点分布的特点解决与两点分布有关的问题 知识点01：离散型随机变量 （1）随机变量的定义 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量． 表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，． 特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． （2）随机变量与函数的关系 共同点：随机变量和函数都是一种映射 区别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数 联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域； 注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域. （3）离散型随机变量的定义 对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 离散型随机变量的特征： ①可用数值表示； ②试验之前可以判断其可能出现的所有值； ③试验之前不能确定取何值； ④试验结果能一一列出； ⑤本章研究的离散型随机变量只取有限个值 （4）连续型随机变量的定义 随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 知识点02：离散型随机变量的分布列 （1）离散型随机变量的分布列的定义 一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列． ①解析式法：i, ②表格法： … … … … ③图象法: （2）离散型随机变量的分布列的性质 ①， ② 注意：①.列出随机变量的所有可能取值； ②.求出随机变量的每一个值发生的概率. 【即学即练1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 知识点03：两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”, 表示“失败”,定义 如果，则，那么的分布列如下所示： 0 1 我们称服从两点分布或者分布. 【即学即练2】（23-24高二下·新疆·期中）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 知识点04：写离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值() (2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识 (3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质. 注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果. 题型01 随机变量 【典例1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【典例2】（23-24高二上·全国·单元测试）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现点数之和 D．两次出现相同点的种数 【典例3】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（    ） A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X B．测量一个年级所有学生的体重，在范围内的体重记为X C．测量全校所有同学的身高，在范围内的人数记为X D．某电子元件的寿命X 【变式1】（23-24高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【变式2】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）下列变量中，不是离散型随机变量的是（    ） A．一条河流每日最大流量 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 【变式3】（多选）（22-23高二下·江苏·课后作业）下列随机变量中是离散型随机变量的是（　　） A．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数 B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 D．某高中每年参加高考的人数 题型02 分布列及其性质的应用 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 P a b c 其中成等差数列，则的值与公差d的取值范围分别是（    ） A．； B．； C．； D．； 【典例2】（23-24高二下·河北沧州·期末）设随机变量的分布列，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0．4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【变式2】（23-24高二下·河北石家庄·期末）设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（    ） X 1 2 P A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则 . 题型03 求离散型随机变量的分布列 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据： 日销售量/十盒 7 8 9 10 天数 8 12 16 4 假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列． 【典例2】（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求： (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量的概率分布. 【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌． (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率． (2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列． 【变式1】（2024高一·全国·专题练习）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：        支付金额（元） 支付方式 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列． 【变式2】（23-24高二下·贵州·期中）设是不等式的解集，整数． (1)设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点． (2)设，写出随机变量X的分布列，求． 【变式3】（23-24高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 题型04 由随机变量分布列求概率 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·湖南株洲·一模）品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分. (1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列； (2)当时， ①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率； ②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由. 【变式1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）设随机变量的概率分布列是，，其中C为常数，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名，这两名同学都来自甲班的概率为． (1)求7名学生中甲班的学生数； (2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率． 【变式3】（23-24高二下·湖北十堰·阶段练习）袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数； (2)求随机变量的分布列； (3)求乙取到白球的概率. 题型05 两个相关随机变量的分布列 【典例1】（23-24高二下·广东深圳·期末）已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（    ） X -1 0 1 m A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下： 0 1 3 若，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·重庆永川·期中）随机变量服从两点分布，且，令，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（    ） A．0．3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 题型06 两点分布 【典例1】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知服从两点分布，若，则（    ） A．0．48 B．0.52 C．0.24 D．0.26 【典例2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）若服从两点分布，，则（    ） A．0．57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 【典例3】（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，则 ． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如果随机变量X的分布列由下表给出， X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从两点分布．( ) 【变式2】（23-24高二下·山东菏泽·期末）若服从两点分布，，则为（    ） A．0．32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【变式3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0．2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0．6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 2．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列如表： 0 2 其中成等差数列，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）已知随机变量满足，，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0．4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 6．（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 7．（23-24高二下·福建宁德·期末）一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 8．（23-24高三上·山东济南）已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中成等差数列，则下列选项正确的是（   ） 0 1 A． B． C． D． 10．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知随机变量的分布列，若，则实数的值可以是（    ） 0 1 2 3 A．5 B．7 C．9 D．10 三、填空题 11．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 12．（2024高三·全国·专题练习）某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 四、解答题 13．（2025高三·全国·专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 15．（24-25高二上·吉林·阶段练习）门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X． (1)试求X的分布； (2)该员工至多试开3次的概率． B能力提升 16．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 17．（2024·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家. (1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率； (2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 7.2 离散型随机变量及其分布列 课程标准 学习目标 1.通过具体案例，了解离散型随机变量的 概念，理解随机变量的分布列及其性质。 2.通过具体案例，了解两点分布的概念及 特点。 3.会求离散型随机变量的分布列及两点 分布列的相关量。 通过本节课的学习，要求会求简单应用问题中的离散型随机变量的分布列，能应用分布列的相关性质求问题中的相关量，会应用两点分布的特点解决与两点分布有关的问题 知识点01：离散型随机变量 （1）随机变量的定义 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量． 表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，． 特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． （2）随机变量与函数的关系 共同点：随机变量和函数都是一种映射 区别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数 联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域； 注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域. （3）离散型随机变量的定义 对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 离散型随机变量的特征： ①可用数值表示； ②试验之前可以判断其可能出现的所有值； ③试验之前不能确定取何值； ④试验结果能一一列出； ⑤本章研究的离散型随机变量只取有限个值 （4）连续型随机变量的定义 随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 知识点02：离散型随机变量的分布列 （1）离散型随机变量的分布列的定义 一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列． ①解析式法：i, ②表格法： … … … … ③图象法: （2）离散型随机变量的分布列的性质 ①， ② 注意：①.列出随机变量的所有可能取值； ②.求出随机变量的每一个值发生的概率. 【即学即练1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 知识点03：两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”, 表示“失败”,定义 如果，则，那么的分布列如下所示： 0 1 我们称服从两点分布或者分布. 【即学即练2】（23-24高二下·新疆·期中）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布的特征计算即可. 【详解】由题意得，则． 故选：. 知识点04：写离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值() (2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识 (3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质. 注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果. 题型01 随机变量 【典例1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据离散型随机变量的定义进行判断，得到答案. 【详解】A选项，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，A错误； B选项，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； C选项，一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，C正确； D选项，测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，D错误． 故选：C． 【典例2】（23-24高二上·全国·单元测试）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现点数之和 D．两次出现相同点的种数 【答案】D 【知识点】判断随机试验中的随机变量 【分析】根据随机变量的定义可得答案. 【详解】由随机变量的定义知，由于两次出现相同点的种数是定值6，故不是随机变量. 故选：D. 【典例3】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（    ） A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X B．测量一个年级所有学生的体重，在范围内的体重记为X C．测量全校所有同学的身高，在范围内的人数记为X D．某电子元件的寿命X 【答案】AC 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据离散型随机事件的定义判断即可. 【详解】半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，选项A正确； 体重无法一一列举，选项B不正确； 人数可以列举，选项C正确； 某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，选项D不正确． 故选:AC． 【变式1】（23-24高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】B 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分、判断随机试验中的随机变量 【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解. 【详解】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量； 一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量； 等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量； 测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量． 故选：B． 【变式2】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）下列变量中，不是离散型随机变量的是（    ） A．一条河流每日最大流量 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 【答案】ABC 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】由离散型随机变量的特点即可求解. 【详解】离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知只有ABC符合题意. 故选：ABC. 【变式3】（多选）（22-23高二下·江苏·课后作业）下列随机变量中是离散型随机变量的是（　　） A．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数 B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 D．某高中每年参加高考的人数 【答案】AD 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义； 对于B，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，是连续型随机变量； 对于C，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，是连续型随机变量； 对于D，每年参加高考的人数可一一列出，符合离散型随机变量的定义． 故选：AD 题型02 分布列及其性质的应用 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 P a b c 其中成等差数列，则的值与公差d的取值范围分别是（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【知识点】求等差中项、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由题意可知，进而可求，所以，，由分布列性质即可求出公差d的取值范围. 【详解】由题意，因为成等差数列，所以， 又由，解得， 则，，， 根据分布列的性质，得，， 所以. 故选：A 【典例2】（23-24高二下·河北沧州·期末）设随机变量的分布列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质，概率之和为１可求出参数.计算概率之和时用数列的裂项相消求和，进而求出. 【详解】 . 则. 故选：A. 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 【答案】15 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据题意，由分布列的性质可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由分布列性质可知，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为15. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0．4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B 【变式2】（23-24高二下·河北石家庄·期末）设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（    ） X 1 2 P A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列的性质可得，求解即可. 【详解】由分布列的性质可得,即， 解得. 又，解得，故. 故选:B. 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则 . 【答案】/0.9 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质即可求解. 【详解】由分布列的性质得，，且，解得， . 故答案为：. 题型03 求离散型随机变量的分布列 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据： 日销售量/十盒 7 8 9 10 天数 8 12 16 4 假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列． 【答案】分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】先根据题意得X的所有可能取值，再应用独立事件的乘法公式计算对应概率，最后写出分布列即可. 【详解】日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为，，，， 根据题意可得X的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20， 则， ，， ，， ，， 所以X的分布列为 X 14 15 16 17 18 19 20 P 【典例2】（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求： (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量的概率分布. 【答案】(1)3 (2)见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）设出袋中原有个白球，利用古典概型得到关于的方程，求解即可； （2）根据题意分析可知，随机变量的可能取值为，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可得出随机变量的概率分布列. 【详解】（1）设袋中原有个白球，由题意知：，所以， 解得（舍去），即袋中原有3个白球. （2）由题意，的可能取值为. ； ； ； ； ； 所以，取球次数的分布列为： 1 2 3 4 5 【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌． (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率． (2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率 【分析】（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”,利用条件概率公式能求出小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下,第三次抽牌抽到红桃牌的概率 (2)X的可能所有取值为:1,2,3,4,5分别求出相应的概率,由此能求出的分布列即可. 【详解】（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”. 则 ．则小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率为 . （2）X的可能所有取值为:1,2,3,4,5． ， ， ， ， ， 则X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 【变式1】（2024高一·全国·专题练习）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：        支付金额（元） 支付方式 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据表中的数据求出A，B两种支付方式都使用的人数，从而可估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； （2）由题意得X的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列． 【详解】（1）由题意得A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人． ∴A，B两种支付方式都使用的人数为， ∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． （2）X的可能取值为0，1，2．样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在的有18人，支付金额超过1000元的有12人； 样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在的有10人，支付金额超过1000元的有15人． ，，． ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 【变式2】（23-24高二下·贵州·期中）设是不等式的解集，整数． (1)设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点． (2)设，写出随机变量X的分布列，求． 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析， 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、写出基本事件、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由一元二次不等式求解，即可求解， （2）由古典概型概率公式求解概率，即可得分布列，进而求解. 【详解】（1）由，解得． 故 整数m，且 A包含的事件为，，，，． 整数m，且 B包含的事件为、、、、、． （2）由于m的所有不同取值为，1，0，1，2，3 故的所有不同取值为0，1，4，9． ，， ，． 故X的分布列为： X 0 1 4 9 P 【变式3】（23-24高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用全概率公式即可得到答案； （2）首先分析出X的可能取值有0，1，2，再按步骤写出分布列即可. 【详解】（1）记“小张第i天中午吃面食”，，“小张第j天中午吃米饭”，， 由题意可知与对立，与对立， 由全概率公式，得， 即小张第二天中午吃米饭的概率为． （2）由题意可知，X的可能取值有0，1，2． 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 题型04 由随机变量分布列求概率 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可. 【详解】设任取1盆的编号为随机变量， 则的可能取值为0，1，2，…，9， 且， ． 故选：B. 【典例2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质，求出，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 【典例3】（2024·湖南株洲·一模）品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分. (1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列； (2)当时， ①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率； ②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②答案见解析 【知识点】独立事件的实际应用、由随机变量的分布列求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）计算每种排序的值以及对应概率，由此可得的分布列； （2）①先计算出的值，然后可求；②先分析续三轮测试中，都有的概率，然后根据概率值的大小进行分析即可. 【详解】（1）的排序共有种，且每种排序等可能， 此时可取， 又时，的排序为， ， 时，的排序为或，， 时，的排序为或或，， 所以的分布列为： （2）①的排序共有种，且每种排序等可能， 而，故中有偶数个奇数，故必为偶数， 当时， 的排序与第一次排序无变化时， 此时仅有种排序：，则， 当时， 的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化时， 此时有种排序：、、，， 所以； ②因为各轮测试相互独立， 所以“连续三轮测试中，都有”的概率为， 所以是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测. 【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量与概率的综合运用，着重考查学生理解问题与分析问题的能力，难度较大.解答第三问的关键在于，能通过独立事件的概率计算公式求解出目标事件的概率并能对概率值的大小进行分析，一般认为小于的概率为小概率. 【变式1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）设随机变量的概率分布列是，，其中C为常数，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列中各个变量的概率之和等于1，求出C的值，由，代入求值即可． 【详解】随机变量的概率分布列是，＝1，2，3，4，5，6， ，解得， ∴． 故选：B． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名，这两名同学都来自甲班的概率为． (1)求7名学生中甲班的学生数； (2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率． 【答案】(1)3人 (2)分布列见解析； 【知识点】由随机变量的分布列求概率、写出简单离散型随机变量分布列、根据古典概型的概率求参数 【分析】（1）首先设甲班的学生数为n，由题意得：，再解方程即可. （2）首先根据题意得到的所有可能取值为0，1，2，分别计算，，，再列出分布列和计算即可. 【详解】（1）设甲班的学生数为n， 由题意得：， 整理得，解得或（舍去）． 即7个学生中，有甲班3人． （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2． 所以，，． 的分布列为 0 1 2 由分布列知． 即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为． 【变式3】（23-24高二下·湖北十堰·阶段练习）袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数； (2)求随机变量的分布列； (3)求乙取到白球的概率. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析 (3) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、写出简单离散型随机变量分布列、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）设袋中的白球个数为，由组合计数原理结合古典概型的概率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （3）记事件乙取到白球，可得出，结合（2）中的分布列可求得结果. 【详解】（1）解：设袋中的白球个数为，由题意可得， 整理可得，又因为且，解得， 因此，袋中白球的个数为. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、， 则，，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： （3）解：由题意可知，记事件乙取到白球，则事件即为“第二次或第四次取到白球”， 所以，. 题型05 两个相关随机变量的分布列 【典例1】（23-24高二下·广东深圳·期末）已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（    ） X -1 0 1 m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出结果． 【详解】由随机变量X的分布列得： ， 解得， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 【典例2】（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下： 0 1 3 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】先根据分布列的性质和期望公式求出，再根据即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 【典例3】（23-24高二下·重庆永川·期中）随机变量服从两点分布，且，令，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、两点分布 【分析】根据两点分布的性质求出，则. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 所以， 由，所以. 故选：D 【变式1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】由概率分布列的性质求出，然后得到离散型随机变量Y的概率分布列，求即可. 【详解】由题意可知：， 所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为： Y -1 1 3 5 P 所以. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解. 【详解】由题意，解得， 而. 故选：A. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（    ） A．0．3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由离散型随机变量分布列的性质计算即可. 【详解】由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3． 故选：A． 题型06 两点分布 【典例1】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知服从两点分布，若，则（    ） A．0．48 B．0.52 C．0.24 D．0.26 【答案】B 【知识点】两点分布 【分析】利用两点分布的性质，列式计算即得. 【详解】由服从两点分布，，得. 故选：B 【典例2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）若服从两点分布，，则（    ） A．0．57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 【答案】B 【知识点】两点分布 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 【典例3】（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，则 ． 【答案】/0.6 【知识点】两点分布、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据随机变量X服从两点分布，得到，再结合条件求解. 【详解】解：由随机变量X服从两点分布，得， 又因为， 所以． 故答案为： 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如果随机变量X的分布列由下表给出， X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从两点分布．( ) 【答案】错误 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布判断即可. 【详解】两点分布是分布. 故答案为：错误. 【变式2】（23-24高二下·山东菏泽·期末）若服从两点分布，，则为（    ） A．0．32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【答案】B 【知识点】两点分布 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 【变式3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0．2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解. 【详解】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0．6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据给定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：C 2．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列如表： 0 2 其中成等差数列，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、等差中项的应用 【分析】利用成等差数列、随机变量分布列的性质可得答案. 【详解】因为成等差数列，所以， 根据随机变量分布列的性质：， 所以， 所以. 故选：A. 3．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）已知随机变量满足，，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用分布列的性质求出，再利用概率加法公式计算即得. 【详解】依题意，，解得，则， 所以. 故选：A 4．（23-24高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】根据分布列性质结合已知条件求得，再求解概率； 【详解】根据分布列可得，解得， 则. 故选：D. 5．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0．4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可. 【详解】根据分布列概率和为1，可得, . 故选：B. 6．（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 【答案】B 【知识点】由随机变量的分布列求概率、均值的性质 【分析】根据概率分步图求得，再根据期望运算可求得,再根据期望运算法则可求得. 【详解】根据题意知，， ， ， 故选：B 7．（23-24高二下·福建宁德·期末）一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用概率之和为1求出，然后令，即可求解. 【详解】， ，即. 故选：B. 8．（23-24高三上·山东济南）已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等于1即可求解. 【详解】因为随机变量满足， 所以， 也即，又因为是公差为的等差数列， 所以，则有，，， 所以，则， ，， 因为，所以，解得， 故选：. 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中成等差数列，则下列选项正确的是（   ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、等差中项的应用 【分析】根据分布列中诸概率和为1，结合等差中项可求，故可得正确选项. 【详解】由题意，得成等差数列，∴. 由分布列的性质，得，∴. ∴，故B、D正确； ∵题目中未给出与的关系，本题我们只知道，故无法求出与的值， 故A、C错误. 故选：BD. 10．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知随机变量的分布列，若，则实数的值可以是（    ） 0 1 2 3 A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】ABC 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】根据随机变量的分布列，求出随机变量的分布列，再找出满足的即可. 【详解】由随机变量的分布列，知： 的可能取值为， 且， ， ， ， 则，. 若，则实数的取值范围是. 故选：ABC. 三、填空题 11．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为： 12．（2024高三·全国·专题练习）某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 【答案】 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据题意先列出的所有可能取值，再分析各个取值的情况，求得和的值，由随机变量的分布列的概率和为1求得. 【详解】由题意知的所有可能取值为. 当时，甲的胜负情况为“胜胜”或“负负”，故. 当时，甲的胜负情况为“胜负胜胜”“胜负负负”“负胜胜胜”或“负胜负负”， 故. 则. 故答案为：. 四、解答题 13．（2025高三·全国·专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，X可以为0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列. 【详解】（1）设甲测试合格为事件A，则. （2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 14．（24-25高二下·全国·课后作业）为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 【答案】答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据题意，由条件可得新生获得社团选修课学分分数的可能取值为，然后分别计算其对应概率，代入计算，即可得到结果. 【详解】设“该新生获得社团选修课学分分数”为，则的可能取值为． 所以； ； ；． 所以的分布列为： 0 0.5 1 1.5 0.12 0.28 0.18 0.42 15．（24-25高二上·吉林·阶段练习）门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X． (1)试求X的分布； (2)该员工至多试开3次的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据组合公式求出各取值概率即可的分布列； （2）根据互斥事件的概率加法公式可得. 【详解】（1）X的可能取值为1，2，3，4，5． ，，， ，． 因此X的分布为： X 1 2 3 4 5 P （2） B能力提升 16．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，的取值有0，1，2分三种情况解决． （2）先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得100分，甲若想获胜的3种情况，最后由分类加法计数原理求解即可． 【详解】（1）设甲､乙通过两轮制的初赛分别为事件， 则， 由题意可得，X的取值有， ， ， ， 分布列如下： 0 1 2 （2）依题意甲､乙抢到并答对一题的概率分别为，， 乙已得100分，甲若想获胜情况有： 甲得200分：其概率为； ②甲得100分，乙再得分，其概率为； ③甲得0分，乙再得分，其概率为； 故乙先得100分后甲获胜的概率为. 17．（2024·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家. (1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率； (2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜的概率，相加即可； （2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出，从而得到和，得到分布列. 【详解】（1）7人中随机选择2人，共有种情况，其中含甲的情况有种， 6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种， 则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为， 和同级的玩家对抗并获胜的概率为， 故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为； （2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率， 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率， 考虑，需考虑甲直接从号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室， 故①， 考虑，则甲从号门进行密室①，且从密室①走出密室， 故②， 联立①②，可得， 所以，故， 故分布列如下： 1 2 / 学科网（北京）股份有限公司 $$