【2024年中考数学一轮复习精讲精练】模块四 三角形 专题4 相似三角形

2024年中考数学一轮复习精讲精练 模块四 三角形 专题4 相似三角形 知识梳理 相似 比例线段 比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a∶b＝c∶d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 比例的基本性质 ①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc； ②如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝. 平行线分线段成比例和黄金分割 平行线分线段成比例 ①如图1，∵a∥b∥c，∴＝，或，或. ②推论：如图2，∵EF∥BC，∴＝，或. 黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中＝≈0.618. 相似三角形 性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比。 (2)相似三角形周长的比等于相似比。 (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 (4)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 (2)三边对应成比例，两三角形相似。 (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 (4)两角对应相等，两三角形相似。。 位似 定义 如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比． 性质 ①位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质； ②位似多边形上任意一对对应点连线都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比. 找位似中心的方法 将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心． 相似 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． 相似模型 A字型 （1）如图1，公共角所对的边平行(DE∥BC)，则△ADE∽△ABC； （2）如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠ACB)，则△AED∽△ABC. 8字型 （1）如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO； （2）如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO. 母子型 已知：，结论： 一线三等角型（K型图） 已知：∠B=∠ACE=∠D，结论：△ABC∽△CDE 双垂型 已知：∠C=90°，CD为斜边AB上的高 结论：△ABC∽△ACD∽△CBD 例题讲解 【题型一】比例线段 【例1.1】（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（       ） A． B．1 C． D．2 【例1.2】（2023•安徽）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【题型二】相似三角形的性质与判定 【例2.1】（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【例2.2】（2023•重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（    ）    A．4 B．9 C．12 D． 【例2.3】（2023•乐山）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．    【例2.4】（2023•黄冈）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 【例2.5】（2023•赤峰）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（    ）    A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【例2.6】（2023•湖南）在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 【例2.7】（2023•湖南）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    (1)证明：． (2