奔驰定理与三角形的“四心”问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

素养提升点3-2 奔驰定理与三角形的“四心”问题（原卷版） 【考情透析】 平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。 【知识拓展】 （一）四心的基本概念 （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． （二）四心的向量表示 1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 （1） （2） （3）若或，，则一定经过三角形的重心 （4）若或，，则一定经过三角形的重心 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 3、常用外心向量式：是的外心， （1） （2） （3）动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. （4）若，则是的外心. 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心 （三）奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. （一）奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 （二）奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心：． （4）是的垂心：． 核心考点题型一 重心的向量表示及其应用 【例题1】．（2023秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）若是内一点，，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【例题2】（2023·湖南长沙高三检测）已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【例题3】（2023秋·湖北武汉高三专题检测）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【例题4】．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______． 【变式1-1】（2023·山东威海高三阶段检测）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·江西九江高三模拟预测）已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________． 【变式1-3】（2023秋·云南曲靖高三模拟）设为的重心，若，则___________． 【变式1-4】．（2023·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______． 核心考点题型二 内心的向量表示及其应用 【例题1】（2023秋·甘肃白银高三联考）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例题2】．（2023·河南郑州高三模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则_________． 【例题3】．（2023秋·四川成都高三专题检测）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______. 【变式2-1】（2023秋·云南曲靖高三专题检测）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式2-2】（2023·河北石家庄高三专题检测）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（2023秋·陕西西安联考）已知是所在平面内一点，且点满足 则点一定的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 【变式2-4】（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考）设为的内心，，，，则为________． 【变式2-5】．（2023秋·内蒙古呼和浩特高三校考）校考期末）已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（    ） A． B．3 C． D．