立体几何中的轨迹问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

素养提升点3-5 立体几何中的轨迹问题（原卷版） 【考情透析】 立体几何中的轨迹问题是高考的难点之一，主要利用平行、垂直、定角、定长等性质分析动点的轨迹，根据轨迹解决一些简单问题，有时可以借助空间直角坐标系来探求变量关系，然后用函数的性质求解。 【归纳题型】 核心考点题型一 动点平行轨迹问题 【例题1】．（2023秋.山东威海高三模拟）在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为 ． 【例题2】（2023·贵州铜仁第一中学校考开学考试）设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：    ①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为； ②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为； ③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为； ④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为． 其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题3】（2023秋·广东梅州高三期末）（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（       ） A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度为 C．存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足 【变式1-1】（2023·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为 .    【变式1-2】．（2023秋·湖南岳阳高三期末）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为 ．    【变式1-3】．（2023秋·江西九江高三期末）（多选题）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（       ） A． B．平面 C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为 【变式1-4】．（2023·陕西汉中高三专题检测）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ． 【变式1-5】（2023·四川大学附中三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________． 核心考点题型二 动点垂直轨迹问题 【例题1】（2023秋·宁夏银川二中校考检测）在棱长为4的正方体中，点P、Q分别是，的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为 . 【例题2】．（2023秋·陕西榆林二中校考检测）如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为 ，点S与P距离的最小值是 ．    【例题3】．（2023秋·甘肃天水高三检测）（多选）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点为的中点，点为底面上的动点，则（    ） A．当时，存在唯一的点满足 B．当时，存在点满足 C．当时，满足的点的轨迹长度为 D．当时，满足的点轨迹长度为 【变式2-1】（2023·河北石家庄高三模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是 . 【变式2-2】（2023·河北保定高三检测）如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，点是正方体表面上的动点．若，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·湖北宜昌高三检测）直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________． 【变式2-4】（2023秋·河南开封高三专题检测）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为 ． 【变式2-5】（2023秋·山东青岛高三专题检测）（多选）如图，正方体的棱长为3，动点在侧面内运动（含边界），且，则（    ） A．点的轨迹长度为 B．点的轨迹长度为 C．的最小值为 D．的最小值为 核心考点题型四 动点定长轨迹问题 【例题1】（2023秋·山西大同高三专题检测）在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为 ． 【例题2】（2023秋·河南安阳模拟预测）在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中