衍生新数列讲义-2024届高三数学二轮专题复习

素养提升3-4 衍生新数列 （原卷版） 【考情分析】 衍生数列是指由已知数列通过插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系，确定衍生数列的特征，以此来解决问题。 【考题归类】 核心考点题型一 数列中的公共项问题 【例题1】（2023秋·四川成都统考三模）已知数列的前项和为，满足，等差数列中. (1)求和的通项公式； (2)数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积. 【例题2】（2023陕西汉中高三期末）数列中，已知，数列{bn}满足，点在直线上. (1)求数列的通项公式； (2)数列中满足：①；②存在使的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和. 【变式1-1】（2023·江苏无锡高三模拟）已知等差数列中，，首项，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项. (1)求的通项公式； (2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前n项和为，求. 题型二 数列的并项问题 【例题1】（2023秋·湖南长沙高三模拟）已知等差数列和等比数列满足 （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合､，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【例题2】（2023秋·云南大理高三模拟）已知数列的前n项和为，且满足，，. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和. 【变式2-1】．（2023秋·山西大同高三模拟）已知数列的前项和为，，当时，. （1）求证：当，为定值； （2）把数列和数列中的所有项从小到大排列，组成新数列，求数列的前项和. 【变式2-2】．（2023秋·辽宁大连高三模拟）在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答． 已知等差数列的前n项和为，______，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列；，，，，，，，，…，求数列的前项和． 核心考点题型三 数列的定项问题 【例题1】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和． 【例题2】（2023秋·重庆八中一模）已知等比数列的前n项和为（b为常数）． (1)求b的值和数列的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和． 【变式3-1】（2023秋·湖北武汉一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为． (1)求，的值； (2)求最小自然数n的值，使得． 核心考点题型四 数列的插项问题 （一）插入新数列构成等差 【例题1】（2023秋·江苏南通高三校联考）已知数列的前项和为，且满足： (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由. 【例题2】（2023·湖北十堰·三模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【变式4-1】（2023秋·陕西汉中高三模拟）已知正项等比数列和其前n项和满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值. 【变式4-2】（2023秋·山东青岛高三模拟）已知等比数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； 【变式4-3】（2023·安徽合肥高三模拟）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的最大项. （二）插入新数列构成等比 【例题1】（2023秋·四川成都高三模拟）已知数列的前项和满足，，. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入一项，使，，成等比数列，且公比为，求数列的前项和. 【例题2】（2023秋·云南大理高三联考）数列的前项和为且当时，成等差数列. (1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明； (2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【变式4-4】（2023秋·四川绵阳三模）