数列的放缩问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

素养提升点3-1 数列的放缩问题（原卷版） 【考情透析】 数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢． 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． （15）二项式定理 ①由于， 于是 ②， ； ， （16）糖水不等式 若，则；若，则． （17）指数恒等式： 次方差公式 这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列. （18）利用导数产生数列放缩：由不等式可得：. 核心考点题型一 先求和后放缩 【例题1】（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式；(2)证明：． 【例题2】．（2023·云南大理模拟预测）己知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，证明：. 【变式1-1】．（2023·四川成都第一中学高三检测）在各项均为正数的数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【变式1-2】（2023·山东威海高三模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【变式1-3】．（2023·陕西榆林中学高三模拟检测）已知数列的前项和为，若， (1)求数列的通项公式；(2)证明：. 【变式1-4】（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 核心考点题型二 先放缩后裂项求和 【例题1】（2023.广东省深圳高三大联考）已知正项数列的前n项和为，且满足.(1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前n项和为，证明： 【例题2】．（2023·山西太原第一中学二模）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，． (1)和的通项公式；(2)求数列的前8项和； (3)证明：． 【例题3】．（2023·山东青岛高三第一次模拟）已知函数． (1)证明：对恒成立； (2)是否存在，使得成立？请说明理由． 【例题4】．（2023·陕西榆林中学高三开学考试）已知数列满足，（其中） (1)判断并证明数列的单调性； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【变式2-1】．（2023江苏无锡高三模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足. (1)求的值：(2)求数列的通项公式： (3)证明：对一切正整数，有. 【变式2-2】．（2024·湖北宜昌·一模）已知数列的前n项和为，. (1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为； (2)设，证明：. 【变式2-3】（2023·山西大同高三模拟预测）已知等差数列的首项为，且，数列满足． (1)求和； (2)设，记，证明：当时，． 【变式2-4】．（2023·江西南昌高三模拟预测）设数列的前项和为，且，数列满足，其中. (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值； (3)当时，求证：. 核心考点题型三 先放缩后等比求和 【例题1】．（2023·山西太原一中高三模拟）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式；(2)证明：. 【例题2】．（2023·云南曲靖一中高三模拟）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中． (1)若成等差数列，求的通项公式； (2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：． 【变式3-1】．（2024·四川成都高三模拟）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中． (1)若成等差数列，求的通项公式； (2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：． 【变式3-2】．（2023·河北保定高三一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，. (1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和； (3)求证：. 核心考点题型四 先放缩后求积 【例题1】．（2023·江苏无锡高三模拟预测）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)若关于x的方程有实数根，求实数k的取值范围； (3)证明：． 【例题2】（2023·河南安阳高三期末检测）已知数列，满足，，且，. （1）求及； （2）猜想，的通项公式，并证明你的结论； （3）证明：对所有的，. 【变式4-1】．（2024·山东烟台高三开学考试）已知函数． (