平面向量极化恒等式与等和线讲义-2024届高三数学二轮专题复习

素养提升点3-1 平面向量极化恒等式与等和线（原卷版） 【考情透析】 在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式来解决，而向量三点共线定理与等和线可以巧妙地把代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路， 【拓展知识】 （一）极化恒等式A B C M a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] （1）公式推导： （2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 4.三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． （1）推导过程：由. （2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． （3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． （二）等和线相关性质 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线AB时，k＝1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； ④当等和线过O点时，k＝0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 核心考点题型一 极化恒等式求值 【例题1】．（2024.四川绵阳高三模拟）设向量满足，，则 A．1 B．2 C．3 D．5 【例题2】．（2023.四川成都七中模拟）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .            【变式1-1】（2024.河北唐山第一次模拟）如图，已知点为的重心，，，则的值为 ． 【变式1-2】.（2023·甘肃天水第一中学模拟预测）如图，在中，已知 ，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为________. 【变式1-3】（2023·山东日照市·高三二模）如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝(　　) A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3 【变式1-4】.（2023·河北武强中学高三月考）如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝(　　) A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－ 【变式1-5】 (2023·江苏徐州高三期末检测) 如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点，若CD⊥AD，垂足为E，则·＝________． 核心考点题型二 极化恒等式求范围 【例题1】（2023·湖南长沙高三期末检测） 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【例题2】（2023·云南昆明高三统考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2023·四川巴中高三检测）正三角形内接于半径为2的圆O，E为线段上一动点，延长交圆O于点F，则的取值范围为_______. 【变式2-1】（2023·重庆八中高三检测）正方形的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆与、分别交于E、F于两点，若P为劣弧上的动点，则的最小值为_____. 【变式2-2】（2023·山西太原一中高三检测）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 . 【变式2-3】（2023秋·河北石家庄高三检测）四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是_______. 【变式2-4】（2023·宁夏银川一中高三检测）已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 . 【变式2-5】（2023秋·山东威海一中高三检测）在中，，，，若P是所在平面内一点，且，则的最大值是_________. 【变式2-6】（2023·江苏镇江高三统考高考真题）已知