第二单元知识点及常见题型归纳讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二单元 不等式的相关概念 (1)不等号:<,≤,>,≥,≠;(2)不等式:由不等号表示的关系式.“≤”的含义是< 或 = 不等式的性质 名称 式子表示 性质1 对称性 a>b⇔b<a 性质2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 性质3 可加性 a>b⇔a+c>b+c 性质4 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc ：a>b,c<0⇒ac<bc 性质5 同向不等式可加 a>b,c>d⇒a+c>b+d 性质6 同向同正不等式可乘 ⇒ac>bd 性质7 正数不等式乘方 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1) 性质8 正数不等式开方 a>b>0⇒> (n∈N,n≥2) 类型一　比较大小 作差法比较大小----对差式进行变形以判断正负-常用的变形有配方、通分、因式分解、分母有理化等. 例：若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是 (　　) A.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x)>g(x) D.随x值变化而变化 作商法比较大小---多用于指数式的比较,对商式一般利用指数的运算性质,通过约分、化同次等方法,比较与1的大小 例：已知a>0,b>0且a≠b,比较aabb与 的大小 1.已知a>0,b>0,且a≠b,比较+ 与a+b的大小. 2.设a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb,abba的大小 3.已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小. 类型二　利用不等式的性质求范围 利用性质直接求范围----减和除转换成加和乘 例：已知-1<a<b<1,则a-b的取值范围是______　. 整体构造求范围----- 例：已知π<α+β< ,-π<α-β<- ,则2α-β的取值范围是______　. 1.已知-1<a+b<3且2<a-b<4,则2a+3b的取值范围是______　. 2.已知-6<a<8,2<b<3,分别求2a+b,a-b,的取值范围. 3.若-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,则z=4x+2y的范围是______　. 4.已知α,β满足 ,试求α+3β的取值范围. 基本不等式 1.≤ （a>0,b>0)当且仅当a=b时,等号成立 2.设a,b为正数,则（称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数. 基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.  3.最值定理（已知x,y都是正数） (1)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.  (2)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2.  利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需注意: (1)x,y必须是正数　　　.  (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值; 求和x+y的最小值时,应看积xy是否为定值　　　.  (3)等号成立的条件是否满足.  类型一　利用基本不等式求最值 1.已知x>-1,则x+的最小值是 (　　) A.1 B.3 C.4 D.5 2.若x<0,函数f(x)=12x+ 的最大值为______.  3.已知a,b∈R,且a+3b-2=0,则2a+8b的最小值为______. 4.函数y=x2+的最小值是______　.  5.若lg a+lg b=0,则+ 的最小值是______.  类型二　“1”的代换求最值 (1) 根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 1.若a>0,b>0,2a+b=6,则 + 的最小值为 (　　) A. B. C. D. 2.已知x,y∈R*,xy=2x+y,则x+y取得最小值时,x= (　) A. B. +1 C.1 D. -1 3.已知x>0,y>0,且+=1,则3x+4y的最小值是_____ 4.已知0<x< ,则x(3-5x)的最大值为 (　　) A. B. C. D. 5.已知正实数x,y满足x+2y=4,则 的最大值为______.  6.若正实数x,y满足x+y=1,则 + 的最小值为(　　) A. B. C. D. 类型三 利用基本不等式求参数 利用基本不等式求参数问题,大部分为不等式恒成立问题,解决时,一般转化为利用基本不等式求最值问题或使用基本不等式时等号成立的条件问题.特别要注意应用基本不等式的条件与变形技巧. 1.设x,y>0,若(x+y)(+)≥a恒成立,则实数a的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 2.已知y=4x+(x>0,a>