重难点14 几何最值问题4种类型（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）-2024年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

重难点突破14 几何最值问题4种类型 （费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 题型01 费马点 【基础】费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点. 结论： 1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于2)有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点. （注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°） 【解题思路】运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度. 结论证明过程： 情况一：当△ABC各角不超过120°时， 将∆APB绕着点B逆时针旋转60°得到∆A’P’B 则∆APB≌∆A’P’B ∴BP=BP’ AP=AP’ ∠A’P’B =∠APB 而∠P’BP=60° 则∆ P’BP为等边三角形 ∴∠BPP’=∠P’BP=∠B P’P=60° ∵PA+PB+PC= P’A’+PP’+PC≤A’C ∴当A’、P’、P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为A’C 此时∠BPC=180°-∠BPP’=120° ∠APB=∠A’P’B =180°-∠BP’ P=120° ∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120° 情况二（仅需理解）：当△ABC有一个内角不小于120°时， 延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP， 并且使得AP'=AP, PC'=PC，则△APC≌△AP'C' ∵∠BAC≥120° ∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60° ∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP' ∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC（ (只有当P、A重合时取等号)） 所以，当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 【费马点的作法】（当△ABC各角不超过120°） 作法：1）如图，分别以∆ABC中的AB、AC为边，作等边∆ADB、等边∆AEC 2）连接CD、BE，则∆ADC≌∆ABE(手拉手模型) 3）记CD、BE交点为P，点P为费马点. 4）以BC为边作等边∆BCF，连接AF，必定经过点P，且BE=AF=CD. 【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论 如图所示，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点. 图形 结论 等腰三角形 ①∠APB=∠BPC=∠APC=120°； ②△ABP与△ACP全等； ③△BCP为等腰三角形； ④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小. 等边三角形 ①AP=BP=CP； ②∠APB=∠BPC=∠APC=120°； ③△ABP、△ACP、△BCP全等； ④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点； ⑤点P是△ABC各边的中线的交点； ⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点； ⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小. 直角三角形 ①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小； ②∠APB=∠BPC=∠APC=120° 【进阶】 加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点”. 【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转. 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5, △ABC内部有一点P,连接PA，PB，PC 问题 求解图形 作法 求PA+PB+PC最小值 △CAP绕点C顺时针旋转60°得△CDE BD长度即为所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD= 求PA+PB+PC最小值 △CAP绕点C顺时针旋转90°得△CDE 此时△PCE为等腰直角三角形，即PE=PC 因此原式=PA+PB+PC=ED+PB+PE，则当B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求, 在Rt△BFD中有勾股定理可得BD= 求PA+PB+PC最小值 △CAP绕点C顺时针旋转120°得△CDE 此时△PCE为等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=PC，因此原式=PA+PB+PC=ED+PB+PE，则当B、P、