2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（与特殊图形存在性问题）

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（与特殊图形存在性问题） 1．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长． ②连接，，求的面积最大时点的坐标． (3)设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线与x轴交点为A、B，A在B的左侧，与y轴交点为点C，且抛物线与直线交于A、C．    (1)求直线的表达式； (2)是D第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形面积的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标：若不存在，请说明理由． 3．综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式 (2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S． ①求的面积S的最大值 ②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．    (1)求此抛物线和直线的表达式； (2)设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由； 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点两点，且与轴交于点．连接，，为抛物线在第二象限内一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，，抛物线上是否存在点，使得．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，过点作交于点，连接．若，求点坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点B在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，连接．    (1)求抛物线的表达式及线段的长； (2)若过点O的直线交线段于点P，将的面积分成两部分，请求出点P的坐标； (3)在坐标平面内是否存在点N，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与轴交于点，对称轴为直线，点在该抛物线上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，在射线上有一点使得．当周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E，动点M在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形，若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，已知点A的坐标为，是抛物线上的点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，是否存在以A，B，M，N为顶点的平行四边形？若存在求出的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC交于点D，若E是直线AC上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图②，P是直线AC上的一个动点，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，直线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)将在直线上平移，平移后的三角形记为，直线交抛物线于，当时，求点的坐标； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴直线与直线相交于点，连接，，判定的形状，并说明理由； (3)在直线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．    (1)点坐标是__