2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（相似三角形问题）

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（相似三角形问题） 1．已知抛物线交x轴于、，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点P是第四象限内抛物线上的一点，交y轴于点D，连接，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，连接（如图②），在线段上是否存在点Q，使与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)在（2）的条件下，如图②，在y轴上有一点R，当时，请直接写出点R的坐标． 2．如图1，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，顶点为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点D为线段上的一点，当时，求点D的坐标； (3)如图3，点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交于点Q，连接，当与相似时，求点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在原点右侧），与y轴交于点C．抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F，连接BC．    (1)求A、B、C三点坐标； (2)如图，点P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点D，问当动点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时P点的坐标； (3)坐标轴上是否存在点G，使以A，C，G为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标：若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为，且与直线交于两点． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)求证：是直角三角形； (3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作轴与抛物线交于点M，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P在抛物线上．    (1)求a的值； (2)直线与抛物线，分别交于点A，B，若的最大值为3，请求出m的值； (3)Q是x轴的正半轴上一点，且的中点M恰好在抛物线上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 7．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，为抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，为线段上的动点，连接，当与相似时，求出点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线经过两点，．过点作轴，交抛物线于点，交轴于点．    (1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标； (2)若抛物线上存在点M，使得的面积为，求出点M的坐标； (3)连接、、、，在坐标平面内，求使得与相似（边与边对应）的点的坐标． 9．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线且，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t，求四边形面积S的最大值及此时P点的坐标； (3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式． (2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为，平移后的抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点．判断以三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由． (3)直线与抛物线交于两点（点在点的右侧），当轴上存在一点，能使以三点为顶点的三角形与相似时，请直接写出点的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B，C重合），过点P作，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标； (3)在y轴负半轴上是否存在点N，使点A绕点N顺时针旋转后，恰好落在第四象限抛物线上的点M处，且使，若存在，请求N点坐标，若不存在，请说明理由．（请在备用图中自己画图） 12．如图1，抛物线经过两点，与y轴相交于点C，连结，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线于点G，交x轴于点E．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，当点P在位于直线上方的抛物线上运动时，连结，四边形的面积S能否取得最大值？若能，请求出最