2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（特殊四边形问题）

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（特殊四边形问题） 1．如图，抛物线与轴交于A，C两点（A点在C点左侧），直线与抛物线交于A，B两点，其中点的横坐标为2． (1)求A，C两点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值； (3)若点是抛物线上的一个动点，在轴上是否存在点，使得以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)点为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点，轴交于点，当的值最大时，求点的坐标和的值最大； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线 ，新抛物线与原抛物线交于点，点为抛物线对称轴上一点，点为平面内一点，当以点P，M，N，Q为顶点的四边形是菱形时，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 3．如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴相交于，两点，点在点的左侧，与轴相交于点，点在轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点在抛物线上并且和点关于抛物线的对称轴对称，作矩形，其中点，都在轴上． (1)求抛物线解析式； (2)设点横坐标为， 用含有的代数式表示点的横坐标为______直接填空； 当矩形为正方形时，求点的坐标； 连接，当与垂直时，求点的坐标； (3)过顶点作轴于点，过点作于点，直接写出与相似时，点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴交直线于点D，过点D作轴，交y轴于点H，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的求解过程写出来． 5．（1）已知抛物线经过原点O，其顶点P的坐标为．求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若抛物线与x轴交于另一点E，过O，E两点作开口向下的抛物线，设其顶点为Q（点Q在点P的下方），线段的垂直平分线与抛物线相交于M，N两点，若四边形的面积为时，求抛物线的函数表达式； （3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，且与y轴正半轴，x轴正半轴分别交于A，B两点，连接，过点P作轴于点，在直线上有一点C，坐标平面内有一点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的D点的坐标：______． 6．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．         (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，点为任意一点，是否存在点、，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出，两点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图,在平面直角坐标系中,抛物线(为常数)与一次函数(为常数)的图像交于两点,其中点坐标为． (1)求点坐标． (2)点为直线上方抛物线上一点,连接,当时,求点的坐标． (3)将抛物线(为常数)沿射线平移个单位长度,平移后的抛物线与原抛物线相交于点,点为抛物线的顶点,点为轴上一点,在平面直角坐标系中是否存在点,使得以点为顶点且为对角线的四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由． 8．如图1，抛物线与x轴相交于点B，C（点B在点C左侧），与y轴相交于点，已知点C坐标为，面积为6．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交AC于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标． 9．已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若和． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在对称轴左侧第二象限的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，当四边形周长最大时，求点的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点是中点，点在上（不与点和点重合），连接，点在上（不与点和点重合），连接，点在上，连接和