专题04 19题新结构定义题（数列部分）(典型题型归类训练)【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题04 19题新结构定义题（数列部分）(典型题型归类训练) 1．（2024上·安徽黄山·高二统考期末）北宋数学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量．经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数．这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式．现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前n项和为，数列的前n和为，且满足．    (1)求数列的前n项和； (2)记，求数列的前n项和． 2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）. (1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值； (2)若，（），求此时的信息熵. 3．（2022上·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）对于数列:,定义“变换”:将数列变换成数列:,其中,且.这种“变换”记作,继续对数列进行“变换”,得到数列:,依此类推,当得到的数列各项均为0时变换结束. (1)写出数列:2,6,4经过5次“变换”后得到的数列; (2)若不全相等,判断数列:经过不断的“变换”是否会结束,并说明理由; (3)设数列:400,2,403经过次“变换”得到的数列各项之和最小,求的最小值. 4．（2022上·上海黄浦·高一上海市向明中学校考阶段练习）设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数. (1)直接判断集合和是否为的自邻集； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)求证：. 5．（2022下·海南海口·高二校考期末）已知数列，满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“k级关联”．记与的前n项和分别为，． (1)已知，，，判断与是否成“4级关联”，并说明理由； (2)若数列与成“2级关联”，其中，，且有，，求|的值； 6．（2020·江苏·统考模拟预测）对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an＝an+1﹣an（n∈N*），规定{△2an}为{an}的二阶差分数列，其中△2an＝△an+1﹣△an（n∈N*）. （1）数列{an}的通项公式（n∈N*），试判断{△an}，{△2an}是否为等差数列，请说明理由？ （2）数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得△2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合； （3）各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且△2cn＝0，对满足m+n＝2k，m≠n的任意正整数m、n、k，都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值. 7．（2018下·北京·高三101中学阶段练习）设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列. 例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3. (1)若数列的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3，请写出数列； (2)设，求数列的伴随数列的前50项之和； (3)若数列的前n项和（其中为常数），求数列的伴随数列的前项和. 8．（2018·江苏南京·校联考一模）设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”． (1)若数列为“数列”，求数列