压轴题03 几何背景下的线段最值问题（3题型+解题模板+技巧精讲）-2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

压轴题解题模板03 几何背景下的线段最值问题 目 录 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 题型一 垂线段最短问题 题型二 将军饮马问题 题型三 旋转最值问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 题型解读： 线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：①线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费马点”问题；④点到直线的距离最值问题等. 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度. 题型一 垂线段最短问题 解题模板： 技巧精讲：垂线段最短模型 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（　　） A．2.5 B．4 C．5 D．10 【变式1-2】如图,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是( ） A. B.1 C. D. 题型二 将军饮马问题 解题模板： 技巧精讲： 1、“将军饮马”模型 2、线段差最大值问题模型： 【例2】（德州中考）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（菏泽中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式2-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若△CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（　　） A．78 B．39 C．42 D．30 【变式2-3】已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【变式2-4】（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．    题型三 旋转最值问题 解题模板： 技巧精讲：旋转求最值模型 【例3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    【变式3-1】如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 【变式3-2】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 【变式3-3】如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值． 一、单选题 1．如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 2．已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm， 则点P到BC的距离是 cm． 4．如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．    5．如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是