重难点2-5 利用导数研究零点与隐零点（7题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

重难点2-5 利用导数研究零点与隐零点 导数综合问题中的零点问题在高考中常以解答压轴题的形式出现。主要包含函数零点个数判断与证明。主要考查：根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等，在高考中难度偏大。 【题型1 判断函数零点的个数】 满分技巧 1、判断函数零点个数的常用方法 （1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图。函数零点的个数问题即是函数图象与轴交点的个数问题． （2）分离出参数，转化为，根据导数的知识求出函数在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线与函数图象交点的个数问题．只需要用a与函数的极值和最值进行比较即可． 2、处理函数与图像的交点问题的常用方法 （1）数形结合，即分别作出两函数的图像，观察交点情况； （2）将函数交点问题转化为方程根的个数问题，也通过构造函数，把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况. 【例1】（2023·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）的零点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（2023·四川成都·高三成都列五中学校考期末）函数的图象与直线的交点个数为 . 【变式1-2】（2024·云南德宏·高三统考期末）已知函数，则函数的零点个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-3】（2023·四川攀枝花·统考一模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（ ） A．4 B．5 C．3或4 D．4或5 【题型2 讨论证明函数零点的个数】 满分技巧 证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察。 利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。 注意：单调性+零点存在=唯一零点 【例2】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点． （1）求实数a的值； （2）证明：有唯一零点． 【变式2-1】（2023·全国·高三校联考开学考试）已知函数． （1）求曲线在处的切线； （2）若对任意，当时，证明函数存在两个零点． 【变式2-2】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，其中． （1）若的极小值为，求单调增区间； （2）讨论的零点个数． 【变式2-3】（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数． （1）若是的极值点，求； （2）讨论函数的零点个数． 【题型3 根据函数零点个数求参数】 满分技巧 1、分离参数后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解； 2、利用函数零点存在定理构造不等式求解； 3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。 【例3】（2024·重庆·统考一模）（多选）已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）已知函数 （1）求曲线在处的切线方程 （2）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围 【变式3-3】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有且仅有1个零点，求的取值范围. 【题型4 max、min函数的零点问题】 【例4】（2022·江苏徐州·高三期末）设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数. （1）若过点可作的两条切线，求的值. （2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 【变式4-2】（2022·福建龙岩·高三福建省龙岩第一中学校考期中）已知函数，，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）用表示m，n的最大值，记，讨论函数的零点个数 【变式4-3】（2023·四川南充·统考三模）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数. 【题型5