热点3-3 正弦定理与余弦定理（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点3-3 正弦定理与余弦定理 “解三角形”是每年高考常考内容，在选择题、填空题中考查较多，有时也会出现在解答题中。对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；而是考查两个定理的综合应用，多与三角变换、平面向量等知识综合命题。以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为容易题、中档题。 【题型1 正、余弦定理解三角形边与角】 满分技巧 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 【例1】（2024·全国·模拟预测）在中，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）在中，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·新疆·校联考一模）在中，角的对应边是，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且，求. 【题型2 正弦定理判定三角形解的个数】 满分技巧 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定； 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定。 （1）从代数的角度分析：以已知和，解三角形为例 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若，则满足条件的三角形的个数为0； ②若，则满足条件的三角形的个数为1； ③若，则满足条件的三角形的个数为1或者2； 显然由若可得有两个值，一个大于，一个小于，考虑“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行分类讨论。 （2）画图法：以已知角的对边为半径画圆弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 【例2】（2023·山东临沂·高三校考阶段练习）（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（ ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，只有一解 D．，，，只有一解 【变式2-1】（2022·河北张家口·高三校联考期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在中，，，，满足条件的（ ） A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在 【变式2-3】（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）（多选）在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 【题型3 正、余弦定理判断三角形形状】 满分技巧 判定三角形形状的两种常用途径 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 【例3】（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ） A．等腰三角形